§8.8§8.8 立体几何中的向量方法 立体几何中的向量方法(Ⅱ)——(Ⅱ)—— 求空间角、距离求空间角、距离数学 北 ( 理 )第八章 立体几何1．空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线 l1，l2 的方向向量分别为 m1，m2，则 l1 与 l2 所成的角 θ 满足cos θ＝ . (2)设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m，n，则直线 l 与平面 α所成角 θ 满足 sin θ＝ . 基础知识 · 自主学习难点正本 疑点清源要点梳理1．向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算． |cos〈m1，m2〉| |cos〈m，n〉| (3)求平面间夹角的大小 如图所示，平面 π1 与π2 相交于直线 l，点 R为直线 l 上任意一点，过点 R，在平面 π1 上作直线 l1⊥l，在平面 π2 上作直线 l2⊥l，则 l1∩l2＝R.我们把 叫作平面 π1 与 π2 的夹角． 基础知识 · 自主学习难点正本 疑点清源要点梳理2．利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面 α、β 的向量 n1，n2 时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量 n1，n2 的夹角是相等，还是互补． 直线 l1 和 l2 的夹角 已知平面 π1 和 π2 的法向量分别为 n1 和n2. 当 0≤〈n1，n2〉≤π2时，平面 π1 与 π2 的夹角等于〈n1，n2〉； 当π2<〈n1，n2〉≤π 时，平面 π1 与 π2 的夹角等于 π－〈n1，n2〉． 基础知识 · 自主学习难点正本 疑点清源要点梳理3．求点到平面距离的方法：①垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②等体积法，转 化 为 求 三 棱 锥 的高；③等价转移法；④法向量法． 2. 点面距的求法 如图，设 AB 为平面α 的一条斜线段，n为平面 α 的法向量，则 B 到平面 α 的距离 d＝ . 基础知识 · 自主学习难点正本 疑点清源要点梳理|AB→·n||n| 3．求点到平面距离的方法：①垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②等体积法，转 化 为 求 三 棱 锥 的高；③等价转移法；④法向量法． 题号答案解析12345 基础知识 · 自主学习基础自测4 1133 30° 60°或 120° 22 a 155 题型分类 · 深度剖析 ...
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