2．4.1 函数的零点 自学导引 1．零点的定义： 一般地，如果函数 y＝f(x)在实数 α 处的值等于零， 即 ，则 α 叫做这个函数的 ． f(α) ＝ 0 零点 2．二次函数零点的个数：对于二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，有 (1)当 Δ＝b2－4ac>0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有 的实数根，这时说二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有 零点； 两个不等 两个 (2)当 Δ＝b2－4ac＝0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有 的实数根(重根)，这时说二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有 零点或者说有 零点； (3)当 Δ＝b2－4ac<0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，这时说二次函数 y＝ax2＋bx＋c 没有零点(a≠0)． 两个相等 一个二重 二阶 试一试：函数的零点与方程的根及函数图象有何关系？ 提示 函数 f(x)的零点，即对应方程 f(x)＝0 的根，也是函数图象与 x 轴的交点横坐标． 想一想：函数的零点就是点，任何函数都有零点，对吗？ 提示 不对．函数的零点不是点，而是函数 y＝f(x)与 x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时其函数值为零．函数 f(x)＝1x无零点，因为方程1x＝0 无实根，因此，并非所有的函数都有零点． 名师点睛 1．函数零点的理解 (1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零． (2)函数的零点也就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标． (3)求函数的零点最直接的方法就是求方程 f(x)＝0 的根． 2．函数零点的性质 (1)当函数的图象通过零点且穿过 x 轴时，函数值变号． (2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. 题型一 求函数的零点 【例 1】 求下列函数的零点． ①f(x)＝－x2－2x＋3；②f(x)＝x3－x2－4x＋4. [思路探索] 即求相应方程的根． 解 (1)令 f(x)＝0 即－x2－2x＋3＝0， 解得：x1＝1 或 x2＝－3， 所以所求函数的零点为 1，－3. (2)f(x)＝x3－x2－4x＋4＝x2(x－1)－4(x－1)＝(x－2)(x＋2)(x－1)， 令 f(x)＝0，则(x－2)(x＋2)(x－1)＝0， 解得：x1＝－2，x2＝1，x3＝2. 所以所求函数的零点为－2,1,2. 规律方法 函数零点的求法： (1)代数法：求方程 f(x)＝0 的实数根； (2)几何法：对于不能用求根公式的方程 f(x)＝0，可以将它与函数 y＝f(x)的图象联系起来，图象与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点． 【训练 1】 求函数 y＝x3－3x2－2x＋6 的零点． 解 令...
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