化归与类比的数学思想解题举例 ( 一 )化归与类比的数学思想解题举例 ( 一 )把一个陌生的问题、复杂的数学问题化成熟知的、简单的数学问题,从而使问题得到解决,这就是化归与类比的数学思想,化归与转化思想有着广泛的应用。实现转化的关键是要构造转化的方法。下面介绍一些常用的转化方法,及化归与类比思想解题的应用。一、新授(一)正与反的转化:有些数学问题,如果直接从正面入手求解难度较大,致使思想受阻,我们可以从反面着手去解决。如函数与反函数的有关问题,对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。 例 1 :某射手射击 1 次击中目标的概率是 0.9 他连续射击 4 次且他各次射击是否击中目标是相互独立的,则他至少击中目标 1次的概率为——分析:至少击中目标一次的情况包括 1 次、 2 次、 3 次、 4次击中目标共四种情况,可转化为其对立事件:一次都未中 ,来求解(略解:)他四次射击未中 1 次的概率 P1=0.14=0.14∴ 他至少射击击中目标 1 次的概率为 1 - P1=1 - 0.14=0.9999例 2 :求常数 m 的范围,使曲线 y=x2 的所有弦都不能被直线 y=m(x - 3) 垂直平分 . (分析):直接求解较为困难,事实上,问题可以转化为:在曲线 y= x2 存在关于直线 y=m(x - 3) 对称的两点,求 m的范围。y=m(x - 3) 对称,则 (略解):抛物线 y=x2 上存在两点 关于直线),(),(222211xx、xxmxxxx1212221221212(3)22xxxxm即 消去 x2 得mxxxxmxx1)6(21212221),(),(222211xx、xx 存在∴ 上述方程有解 ∴△=2231212mmm> 0 ∴)126)(12(2mmm<0 从而 m< 21因此,原问题的解为{ m | m≥ } 210161222121mmxmx当 m=0 的时候 , 直线 y=0 则 y= 显然不可能被直线 y=0 平分x2 (二)一般与特殊的转化当面临的数学问题由一般情况难以解决,可以从特殊情况来解决,反之亦然,这种方法在选择,填空题中非常适用。例 1 :设等比数列{ an }的公比为 q ,前 n 项和为Sn ,若 Sn+1 、 Sn 、 Sn+2 成等差数列,则 q=___________. 【分析】由于该题为填空题,我们不防用特殊情况来求 q 的值 . 如: S2 、 S1 、 S3 成等差,求 q的值 . 这样就避免了一般性的复杂运算 .( 略解 ) : qaaS1122111311,qaqaaSaS 1322SSS 1322SSS∴ 12111222...