向量的数量积的概念 【例 1 】设 a 、 b 、 c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题 ①(a·b)c － (c·a)b ＝ 0 ；②|a| － |b|<|a － b| ；③(b·c)a － (c·a)b 不与 c 垂直；④(3a ＋ 2b)·(3a － 2b) ＝ 9|a|2 － 4|b|2.其中是真命题的有 ________ ． 【解析】对于①， b 与 c 是不共线的两个非零向量，且 a·b 与 c·a 不能都为零，故①错误．对于②，由三角形的两边之差小于第三边知②正确．对于③，由向量的数量积的运算法则，得[(b·c)a － (c·a)b]·c ＝ (b·c)(a·c) － (c·a)(b·c) ＝0 ，所以 [(b·c)a － (c·a)b]⊥c ，故③错误．对于④，由于 (3a ＋ 2b)·(3a － 2b) ＝ 9a2 －4b2 ＝ 9|a|2 － 4|b|2 ，故④正确．答案：②④ 判断上述问题的关键是掌握向量的数量积的含义．向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律．例如，由 a·b ＝ 0 并不能得出 a ＝ 0或 b ＝ 0. 特别是向量的数量积不满足结合律，即 (a·b)·c≠a·(b·c) ． 【变式练习 1 】下列命题中正确的个数是 ________.① 若 a·b ＝ 0 ，则 a ＝ 0 或 b ＝ 0 ；②(a·b)·c ＝ a·(b·c) ；③ 若 a·b ＝ b·c(b≠0) ，则 a ＝ c ；④a·b ＝ b·a ；⑤ 若 a 与 b 不共线，则 a 与 b 的夹角为锐角． 【解析】当 a≠0 时，由 a·b ＝ 0 / b＝ 0 ，且对任意与 a 垂直的非零向量 b ，都有 a·b ＝ 0 ，故①错． (a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量，而a·(b·c) 表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 通常并不是共线的，故②错．设 a 与 b 的夹角为α ， b 与 c 的夹角为 β ，则由 a·b ＝ b·c ，得 |a|cosα ＝ |c|cosβ / a ＝ c ，故③错．由于向量数量积满足交换律，故④正确．向量的夹角是指两向量起点相同时两个方向所成的角，可为[0° ， 180°] 范围内的角，故⑤错． 答案： 1向量的夹角 137547223524ab已知 ， 是两个非零向量，且 ＋与－ 垂直， － 与－垂直．试求 与 的夹角大小；已知＝， ＝ ， 和 的夹角为，求使向量 ＋与＋ 的夹角是钝角时的取值【例 】范围．abababababa2 bababab 2222222222375(3 ) (75 ) 0716150.472(4 ) (72 ) 073080.46232..112cos.|| ||2[0]1bb...
VIP
