高中数学 (二维形式的柯西不等式1 新人教A版选修4-5 试题VIP专享VIP免费

柯西不等式向量形式引入探究问题作业:课本37P习题 3.1 第 1、3、7、8 题 二维形式的柯西不等式 柯西不等式的应用思考有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，人们称它们为经典不等式. 如均值不等式: 1212(,1,2,, )nnniaaaa aaaRinn≥. 本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养. 二维形式的柯西不等式 思考:阅读课本第 31 页探究内容. 设 为任意实数 ., , ,a b c d()()2222abcd联 想由222abab≥两个实数的平方和与乘积的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什么不等关系: 发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 , , ,a b c d 都是实数,则22222()()()abcdacbd≥.当且仅当 adbc时,等号成立. 思考解答变形你能简明地写出这个定理的证明？运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 思考:设 ,,1,a bRab 求证: 114ab≥ . 运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 思考 1:设 ,,1,a bRab 求证: 114ab≥ . 证明:由于 ,a bR,根据柯西不等式,得 21111()()()4abababab≥ 又1ab , ∴ 114ab≥ 可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了！解答漂亮！定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 , , ,a b c d 都是实数,则22222()()()abcdacbd≥.当且仅当 adbc时,等号成立. 变变形……,可得下面两个不等式: ⑴若 , , ,a b c d 都是实数,则2222()()abcdacbd≥.当且仅当 adbc时,等号成立. ⑵若 , , ,a b c d 都是实数,则2222()()abcdacbd≥.当且仅当 adbc时,等号成立. 这两个结论也是非常有用的. 另外由这两个结论，你和以前学过的什么知识会有联想 .注：若11(,)xy �，22(,)xy �，则 121222221122cos,x xy yxyxy � 三角不等式定理 2(柯西不等式的向量形式) 若, �是两个向量,则   �≥.当且仅当 �是零向量或存在实数 k ，使k�时,等号成立. 定理 1(二维形式的柯西不等式) 若1122,,,x y x y 都是实数,则2222211221212()()()xyxyx xy y≥.当且仅当1221x yx y时,等号成立. 定理 1(二维形式的柯西不等式) 若1122,,,x y x y 都是实数,则22222...