高中数学 (一般形式的柯西不等式 新人教A版选修4-5 试题VIP专享VIP免费

一般形式介绍举例分析复习练习本课小结作业:课本41P第 1、2、3 题 一般形式的柯西不等式 课堂练习上一节课，我们认识了二维形式的柯西不等式，运用该不等式可以求一些最值及证明一些不等式. 下面我们来做几个巩固练习: 1.已知 ,a b 为任意实数,求证:442233 2()()()ababab≥ 2. 设,x yR,求证: 22221xyyyxxyx≥ 3.已知21xy ,求22xy的最小值. 4.设,x yR,且 x+2y=36,求 12xy的最小值． 5.求函数2 121yxx的最大值. 一般形式的柯西不等式 15 (当12,55xy ) 1 (12,12)4xy 3 (0)x  根据上面结果，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？探究:从平面向量的几何背景能得到   �≥,将平面向量的坐标代入,化简后得二维形式的柯西不等 式 :2222212121 122() ()()aabba ba b≥, 当 且 仅 当122 1a ba b时,等号成立. 类似地,从空间向量的几何背景也能得到   �≥,将空间向量的坐标代入,化简后 猜想并证明结论得三维形式的柯西不等式: 22222221231231 12233()()()aaabbba ba ba b≥, 当且仅当, �共线时,等号成立.0, �即或存在一个实数 k ,使得(1,2,3)iiakb i时,等号成立. 猜想柯西不等式的一般形式222222212121 122()()()nnnbaaabbba ba ba b≥②，aaaAn22221设，bbbCn22221nnbababaB22112ACB不等式就是②≥分析：)( )(2)()(222212211222221nnnnbbbxbababaxaaaxf构造二次函数0)()()()(2222211nnbxabxabxaxf又∴二次函数 fx 的判别式0△≤ , 即22222221 12 212124()4() ()0n nnna ba ba baaabbb≤ 。等号成立时使得或存在一个数当且仅当则是实数设一般形式的柯西不等式定理,),,2,1(,),,2,1(0,,,,,,,,,,)(321321nikbaknibbbbbaaaaiiinn222222212121 122()()()nnnbaaabbba ba ba b≥例 1 已知12,,,na aa都是实数，求证： 222212121 ()nnaaaaaan≤ 同样这个不等式也有着向量（ n 维向量）及几何背景，其应用广泛。证明： 22222212212(111 )() (111)nnaaaaaa  ≥ 继续2 答案例 1 已知12,,,na aa都是实数，求证： 222212121 ()nnaaaa...