等比数列的基本量运算 【例 1 】已知等比数列 {an} ，若 a1 ＋ a2 ＋ a3＝ 7 ， a1·a2·a3 ＝ 8 ，求 an.131232131133131113·· ·82514,41411242212.nnnna aaa a aaaaaaaaaaaaqaqaa－－因为＝ ，所以＝ ＝ ，所以 ＝ ，所以由得或，所以 ＝ ， ＝ 或 ＝ ， ＝ ，所以 ＝方【法或 ＝】：解析221312123133123111131784112222.2nnnnaa qaa qaaaaqqaaaa qaaqqaa －－因为 ＝， ＝，所以，解得或，所以 ＝或 ＝方法 ： 研究等差数列或等比数列，通常向首项 a1 ，公差 d( 或公比 q) 转化．在 a1 ， an ， d( 或q) ， Sn ， n 五个基本量中，能“知三求二”． 【变式练习 1 】等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，已知 S4 ＝ 1 ， S8 ＝ 3. 求： (1) 等比数列 {an} 的公比 q ； (2)a17 ＋ a18 ＋ a19 ＋ a20 的值． 4148184417181920441616411111131132.11··12126.11aqSqaqSqqqaaaaqaqa qqqq 由，两式相除得 ＋ ＝ ，即 ＝＋＋＋＝＝＝【＝解析】等比数列的判定与证明 【例 2 】设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，数列 {bn}中， b1 ＝ a1 ， bn ＝ an － an － 1(n≥2) ．若 an ＋ Sn ＝ n ，(1) 设 cn ＝ an － 1 ，求证：数列 {cn} 是等比数列； (2) 求数列 {bn} 的通项公式． 11111111111(2)21(2)2(1)1(2)1(2)211211102nnnnnnnnnnnaSnaSnnaanaanccnaSacac－－－－－证明：由 ＋ ＝ ，得＋＝ －，两式相减得－＝，即－ ＝－，所以 ＝．又由 ＋ ＝ ，解得 ＝ ，所以 ＝ － ＝－【解析，所以数列是】等比数列． 11111111() ( )( )22211 1( )21( ) (2)21)21(.22nnnnnnnnnnnncacbaanbab－－由知 ＝ －＝－，所以 ＝ ＋ ＝ －，所以 ＝ －＝．又 ＝ ＝ 适合上式，所以 ＝ 判断一个数列是等比数列的方法有定义法、等比中项法，或者从通项公式、求和公式的形式上判断．证明一个数列是等比数列的方法有定义法和等比中项法，注意等比数列中不能有任意一项是 0. 121 (1)123.23nnnnnnnanSSaaaaaS数列的前 项和为 ，且 ...
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