3第 5 节 多 元 函 数 的 高 阶 偏 导 数对于一元函数，一阶导函数的导数称为原来函数的二阶导数；阶导函数的导数称为原来函数的阶导数。对于多元函数，也可类似地定义高阶偏导数．设在区域内可偏导，其偏导数,仍是的二元函数，仍可以考虑求它们的偏导数称为原来函数的二阶偏导数．分别记作，或，；，或，；，或，；，或，．其中也称为函数关于的二阶混合偏导数．（符号游戏）一般地，阶偏导函数的（偏）导数称为原来函数的阶（偏）导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．26离 散 数 学思考题：1．与是否相同？与是否相同？（完全不一样！）【例 5.1】 设，求的所有二阶偏导数．解 ， ，，；；．（请注意：此题中）【例 5.2】 设．证明：． ,均二阶可导,为常数．解 令，，则有， ，， ，从而有 ．27第 1 章 集 合【例 5.3】 设，求，．解 时，有，，时，有，，．不存在．在例 5.1 中，在例 5.3 中，不存在，这说明，在某些情况下，二阶混合偏导与求导次序无关，而在某些情况下，二阶混合偏导与求导次序有关．那么在什么情况下，二阶混合偏导与求导次序无关呢？26离 散 数 学定理 5.1 如果函数的二阶混合偏导函数，在处连续，则．证 令设，，则有，或，由一元函数的中值定理及关于的偏导函数存在，得又关于的偏导数存在，则由中值定理得，，同理， ，即有 ，因为 ,在是连续，故，所以，．高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导次序无关．该结论可以推广到一般多元函数的高阶混合偏导数．定理 5.n 如果函数的相应混合偏导函数在处连续，则在处的混合偏导数与求导次序无关．（如果求导次序无关，我们就不用计较求导次序了。）27第 1 章 集 合【例 5.4】 设，求的二阶偏导数．解 ,,,，，，，，．,,．复合函数求高阶偏导数：先求有关较低阶偏导函数，再对较低阶偏导函数求导得到较高阶偏导数。遇到低阶偏导函数求导时也要先画出它的函数图。幸好，各阶偏导函数的复合结构与原来函数的复合结构是一样的，因此，各阶偏导函数的函数图与原来函数的函数图是一样的。例如，在的函数图中把换成就得到的函数图。26离 散 数 学【例 5.5】 设，，， ， ，有二阶连续偏导数，求，，．解 函数图，，．注意此时仍是二元复合函数，仍然有函数图，，故有引用前面给出的记号，，，，，，有 ．27第 1 章 集 合（注意到，求导次序无关。）同理可得 ，．26离 散 数 学 (测)【例...
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