3第9节二元函数的泰勒公式设连续可导的任意。固定，记，则（*）下面设充分连续可导。固定，记.我们用数学归纳法证明：。（1）当时。由复合函数的求导法则，可求得（2）归纳地设公式对于时是对的。当时。记由（*），公式也是对的。6离散数学，．由一元函数的泰勒公式，得(9.2)因此，(，)，(9.1)其中．我们有二元函数的泰勒公式：定理9.1(二元函数的泰勒公式)设函数在点的某邻域内有直到阶的连续偏导数，则对内的任一点，有，(9.1)其中，，此式称为二元函数在点处带拉格朗日型余项的泰勒公式．5第1章集合是没有意义的，只有的右边才有意义。若，则得，(9.3)称之为二元函数的中值公式．特别地，若令，便得到二元函数的麦克劳林公式：，．(9.4)【例9.1】设，在点附近用二次多项式逼近，并用它计算的近似值．解由题意，用在处的二阶泰勒公式去掉余项即可得到所要求的二次多项式．因为，，，，，得，，，，，，于是有，．令，，故．6离散数学【例9.2】求的阶带拉格朗日型余项的麦克劳林公式．解令，则有，当时，．由一元函数的泰勒公式，有，．将代入，得，，．习题9-9１．求函数在点处的二阶泰勒多项式．*２．求函数的三阶麦克劳林公式．３．求函数在的邻域内的泰勒公式．４．求函数的阶麦克劳林公式．并写出余项．５．利用三阶泰勒多项式求的近似值．
VIP
