第7讲解三角形应用举例一、选择题1．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为()A.B.C.D.解析因∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.∴BC＝.答案D2．如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是()．A．α，a，bB．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b解析选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似，故选A.答案A3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()．A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．答案A4.如图，两座相距60m的建筑物AB、CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()．A．30°B．45°C．60°D．75°解析依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.答案B5．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()A．50mB．50mC．25mD.m解析由题意，得B＝30°.由正弦定理，得＝，∴AB＝＝＝50(m)．答案A6.如图，在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1m)()．A．2.7mB．17.3mC．37.3mD．373m解析在△ACE中，tan30°＝＝.∴AE＝(m)．在△AED中，tan45°＝＝，∴AE＝(m)，∴＝，∴CM＝＝10(2＋)≈37.3(m)．答案C二、填空题7．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．解析在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan60°＝，AB＝BCtan60°＝10(米)．答案108．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进xm到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，进行10m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.解析由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴＝.∴x＝m.答案m9.在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A，B的距离为10米，则旗杆的高度为________米．解析由题可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理得＝，解得AN＝20(米)，在Rt△AMN中，MN＝20sin60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．答案3010.如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．解析由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得＝，解得BM＝，要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90°－β)＝＞n，所以当α与β的关系满足mcosαcosβ＞nsin(α－β)时，该船没有触礁危险．答案mcosαcosβ＞nsin(α－β)三、解答题11．如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15nmile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40nmile处的B岛出发，朝北偏东θ的方向作匀速直线航行，速度为mnmile/h.(1)若两船能相遇，求m.(2)当m＝10时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少nmile?解(1)...
