【考点整合】1.向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±a|a|.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量).第三讲平面向量考点与考题第三讲本讲栏目开关(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量.(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影.2.向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律.(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算律的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律.a·b运算结果不仅与a，b的长度有关而且与a与b的夹角有关，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.考点与考题第三讲本讲栏目开关3.两非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆.考点与考题第三讲本讲栏目开关【对点真题】1.(2012·浙江)设a，b是两个非零向量()A.若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB.若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C.若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD.若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|解析利用向量运算法则，特别是|a|2＝a2求解.考点与考题第三讲由|a＋b|＝|a|－|b|知(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即a2＋2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，∴a·b＝－|a||b|. a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝－1，∴〈a，b〉＝π，本讲栏目开关此时a与b反向共线，因此A错误.答案C考点与考题第三讲当a⊥b时，a与b不反向也不共线，因此B错误.若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ＝－1，使b＝－a，满足a与b反向共线，故C正确.若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a＋λa|＝|1＋λ||a|，|a|－|b|＝|a|－|λa|＝(1－|λ|)|a|，只有当－1≤λ≤0时，|a＋b|＝|a|－|b|才能成立，否则不能成立，故D错误.本讲栏目开关2.(2012·辽宁)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A.a∥bB.a⊥bC.|a|＝|b|D.a＋b＝a－b解析将向量的模相等变为向量的平方相等求解.B考点与考题第三讲因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，故a⊥b.本讲栏目开关3.(2012·天津)已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→，λ∈R.若BQ→·CP→＝－32，则λ等于()A.12B.1±22C.1±102D.－3±222解析BQ→·CP→＝(BA→＋AQ→)·(CA→＋AP→)A考点与考题第三讲＝[BA→＋(1－λ)AC→]·(CA→＋λAB→)＝－32，所以4λ2－4λ＋1＝0.所以λ＝12.本讲栏目开关4.(2012·湖南)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB→·BC→＝1，则BC等于()A.3B.7C.22D.23解析 AB→·BC→＝1，且AB＝2，A考点与考题第三讲∴1＝|AB→||BC→|cos(π－B)，∴|AB→||BC→|cosB＝－1.在△ABC中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|cosB，即9＝4＋|BC|2－2×(－1).∴|BC|＝3.本讲栏目开关5.(2012·课标全国)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.解析利用平面向量的数量积概念、模的概念求解.答案32考点与考题第三讲 a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a|·|b|cos45°＝22|b|，|2a－b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32.本讲栏目开关6.(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB→·AF→＝2，则AE→·BF→的值是________.考点与考题第三讲本讲栏目开关解析方法一坐标法.考点与考题第三讲以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2，0)，E(2，1)，F(x,2).故AB→＝(2，0)，AF→＝(x,2)，AE→＝(2，1)，BF→＝(x－2，2)，∴AB→·AF→＝(2，0)·(x,2)＝2x.又AB→·AF→＝2，∴x＝1.∴BF→＝(1－2，2).∴AE→·BF→＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝2.本讲栏目开关方法二用AB→，BC→表示AE→，BF→是关键.考点与考题第三讲设DF→＝xAB→，则CF→＝(x－1)AB→.AB→·AF→＝AB→·(AD→＋DF→)＝AB→·(AD→＋xAB→)＝xAB→2＝2x，又 AB→·AF→＝2，∴2...
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