第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式重点难点重点：①掌握同角三角函数的关系公式．②掌握－α，π±α，2π－α，π2±α的诱导公式．难点：诱导公式的规律性及综合运用．知识归纳1．同角三角函数的基本关系(1)倒数关系：tanα·cotα＝__；(2)商数关系：sinαcosα＝_____；(3)平方关系：sin2α＋cos2α＝__；1tanα12．三角函数的诱导公式(1)诱导公式的内容(2)诱导公式的规律诱导公式概括为：kπ2±α(k∈Z)的正弦、余弦值，当k为偶数时，得角α的同名三角函数值；当k为奇数时，得角α相应的余函数值，然后放上把角α看成锐角时原函数所在象限的符号；可概括为“奇变偶不变，符号看象限．”误区警示1．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，如果应用平方关系，就要进行分类讨论，先确定角的终边所在的象限，再确定三角函数值的符号．要注意公式的合理选择和方法的灵活性．2．在利用同角三角函数的基本关系化简、求值时，要注意用“是否是同角”来区分和选用公式．3．在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取．应用公式时把角α看成锐角．．．．，如果出现kπ±α的形式时，常对k值是奇数还是偶数进行分类讨论，以确定角所在的象限．4．要熟记特殊角的三角函数值．解题技巧1．怎样计算任意角的三角函数值计算任意角的三角函数值，主要是运用诱导公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其一般步骤是：(1)负化正：当已知角为负角时，先利用－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值；(2)正化主：当已知角不在区间[0°，360°)时，可用k·360°＋α的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间[0°，360°)上的角的三角函数值；(3)主化锐：当已知角是90°到360°间的角时，可利用180°±α，360°－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为0°到90°间的角的三角函数值(对于非特殊角用查表或用计算器求出结果)．2．证明三角恒等式的常用方法证明三角恒等式的主要思考方法有：(1)化繁为简，即从等式较繁的一边出发，利用三角公式及变形技巧，逐步变形到等式的另一边．(2)左右归一，当欲证式两边都比较复杂时，把两边分别变形化简，得到同一个式子．(3)转换命题，即把原命题转化为它的等价命题，简化证明过程．3．“1”的代换在求值、化简、证明时，常把数1表示为三角函数式或特殊角的三角函数值参与运算，使问题得以简化．常见的代换有：1＝sin2α＋cos2α1＝sec2α－tan2α＝csc2α－cot2α1＝cosα·secα＝sinα·cscα1＝tan45°＝tanα·cotα＝cot45°1＝(sinα＋cosα)2－2sinαcosα等等．4．三角函数求值中直角三角形的运用先根据所给三角函数值，把角看成锐角构造相应的直角三角形．，求出该锐角的各三角函数值，再添上符号即可．※5.同角三角函数关系的六边形法则记忆：上弦中切下割，左正右余中1，倒数对角线、平方倒三角、乘积两边夹、商数依次除．应用：寻找解题途径．如已知sinα①利用平方关系可求cosα，进而求tanα，cotα.②利用倒数关系可求cscα，进而可求cotα等．[例1]α是第二象限角，tanα＝－815，则sinα等于()A.18B．－18C.817D．－817同角三角函数的基本关系解析：解法1： sin2α＋cos2α＝1sinαcosα＝－815，解得sinα＝±817.又 α为第二象限角，∴sinα>0，∴sinα＝817.故选C.解法2：设tanα1＝815，α1为锐角，如图在Rt△ABC中，由tanα1＝815，设AC＝8，BC＝15，则AB＝17，∴sinα1＝817， α为第二象限角，∴sinα>0，从而sinα＝817.解法3： α是第二象限角，∴sinα>0，排除B、D，又tanα＝sinαcosα＝－815，由勾股数组8,15,17知排除A，∴选C.答案：C点评：记住常用的勾股数组非常方便．常用的有：①3,4,5②5,12,13③7,24,25④8,15,17以及它们的倍数，如3k,4k,5kk∈N＋.已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝3－12，则tanθ的值为()A．－3或－33B．－33C．－3D．－32解析：由sinθ＋cosθ＝3－12两边平方得，sinθ·cosθ＝－34由sinθ·cosθ＝sinθ·cosθsin2θ＋cos2θ＝tanθ1＋tan2θ＝－34解得tanθ＝－3或tanθ＝－33由于θ∈(0，π)，0
