§6.5含绝对值的不等式考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考6.5含绝对值的不等式双基研习·面对高考1．绝对值不等式的解法解绝对值不等式的思路是去绝对值的符号，去绝对值符号的方法有(1)定义法：|a|＝_____________(2)平方法：|f(x)|≤|g(x)|⇔__________．双基研习·面对高考基础梳理f2(x)≤g2(x)aa≥0，－aa<0.(3)同解变形法，其同解定理有：①|x|≤a⇔－a≤x≤a(a≥0)；②|x|≥a⇔________________(a≥0)；③|f(x)|≤g(x)⇔－g(x)≤f(x)≤g(x)(g(x)≥0)；④|f(x)|≥g(x)⇔f(x)≥g(x)或f(x)≤－g(x)(g(x)≥0)．x≥a或x≤－a2．绝对值不等式的性质基本性质|a|－|b|____|a＋b|_____|a|＋|b|，推论(1)|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|，推论(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.≤≤思考感悟1．在|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝”成立的条件是什么？提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|.不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.2．|x－a|±|x－b|的几何意义是什么？提示：|x－a|＋|x－b|几何意义表示：数轴上的点x到点a的距离与点x到点b的距离之和；|x－a|－|x－b|表示：点x到点a的距离减去点x到点b的距离所得的差．思考感悟课前热身答案：C1．(教材习题改编)不等式|x2－5x＋5|>1的解集为()A．(1,2)∪(3,4)B．(－∞，1)∪(4，＋∞)C．(－∞，1)∪(2,3)∪(4，＋∞)D．(－∞，2)∪(3，＋∞)2．不等式|x＋1x－1|<1的解集为()A．{x|01}B．{x|00，下面四个不等式中，正确的是()①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|A．①和②B．①和③C．①和④D．②和④4．若关于x的不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a的值等于________．答案：－45．不等式|x＋log3x|<|x|＋|log3x|的解集为________．答案：(0,1)考点探究·挑战高考考点突破绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值．常用的方法有：(1)由定义分段讨论；(2)利用绝对值不等式的性质；(3)平方．例例11解下列关于x的不等式．(1)|x－x2－2|>x2－3x－4.(2)|x＋1|>|x－3|.【思路分析】对于(1)可由|f(x)|>g(x)的形式去绝对值，也可以讨论x－x2－2的正负．对于(2)可平方，也可分段讨论．【解】(1)法一：原不等式等价于x－x2－2>x2－3x－4或x－x2－2<－(x2－3x－4)解之得1－2－3.∴原不等式的解集为{x|x>－3}．法二： |x－x2－2|＝|x2－x＋2|＝x2－x＋2，( x2－x＋2>0)∴原不等式等价于x2－x＋2>x2－3x－4⇔x>－3.∴原不等式的解集为{x|x>－3}．(2)法一：|x＋1|>|x－3|，两边平方得(x＋1)2>(x－3)2，∴8x>8，∴x>1.∴原不等式的解集为{x|x>1}．法二：分段讨论当x≤－1时，有－x－1>－x＋3，此时x∈∅；当－1－x＋3，此时13时，有x＋1>x－3成立，∴x>3.∴原不等式解集为∅∪{x|1＜x≤3}∪{x|x＞3}＝{x|x>1}．【名师点评】去掉绝对值号，要根据题目特点，灵活采用方法．如(1)的法二，(2)的法一就比较好．绝对值不等式的证明主要利用性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添项、拆项进行放缩．已知f(x)＝x2－x＋c定义在区间[0,1]上，x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2，求证：(1)f(0)＝f(1)；(2)|f(x2)－f(x1)|<|x1－x2|.【思路分析】(1)计算f(0)和f(1)．(2)代入f(x2)，f(x1)→作差化简f(x2)－f(x1)→放大到|x1－x2|.例例22【解】(1)f(0)＝c，f(1)＝c，故f(0)＝f(1)．(2)|f(x2)－f(x1)|＝|x22－x2＋c－x21＋x1－c|＝|x2－x1||x2＋x1－1|， 0≤x1≤1,0≤x2≤1,0
