(了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率/了解几何概型的意义)10.6几何概型1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(或)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为.2．几何概型中，事件A的概率计算公式P(A)＝.长度面积体积几何概型3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．5．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．1．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是()A.B.C.D.解析：以时间的长短进行度量，故P＝答案：B2.(2009·福建质检)如上图，正方形ABCD的边长为2，△EBC为正三角形．若向正方形ABCD内随机投掷一个质点，则它落在△EBC内的概率为()A.B.C.D.解析：正方形的面积为4，S△EBC＝×2×2×sin60°＝，所以质点落在△EBC内的概率为.答案：B3．(2009·辽宁)ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A.B．1－C.D．1－解析：根据几何概型概率公式得概率为P＝答案：B4．在区间[1,3]上任取一数，则这个数大于1.5的概率为________．解析：在[1.5,3]内任取一数，则此数大于等于1.5，因此所求此数大于等于1.5的概率P＝＝0.75.答案：0.75如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P(A)＝【例1】(2009·福建)点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．解析：如右图，设A、M、N为圆周的三等分点，当B点取在优弧上时，对劣弧来说，其长度小于1，故其概率为.答案：变式1.有一段长为10米的木棍，现要截成两段，则每段不小于3米的概率为________．解析：记“截得两段都不小于3米”为事件A，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10－3－3＝4(米)．在中间的4米长的木棍处截都能满足条件，所以P(A)＝＝0.4.答案：0.41.若将问题几何化，经判断是与面积有关的几何概型，便可应用公式P(A)＝求其概率．2．若将问题几何化，经判断是与体积有关的几何概型，便可应用公式P(A)＝求其概率．【例2】设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解答：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，所以所求的概率为P(A)＝.变式2.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122cm，靶心直径12.2cm，运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率．解答：记“射中黄心”为事件A，由于中靶点随机的落在面积为π×1222cm2的大圆内，而当中靶点在面积为π×12.22cm2的黄心时，事件A发生，于是事件A发生的概率P(A)＝＝0.01，所以射中“黄心”的概率为0.01.会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型．难点是把两个时间分别用x、y两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题．【例3】甲、乙两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．解答：甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待．以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－2≤x－y≤4，在如上图所示的平面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘...
