§6垂直关系6.1垂直关系的判定第1课时直线与平面垂直的判定1.理解直线与平面垂直的概念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.能运用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直.直线与平面垂直(1)定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直.(2)画法:当直线与平面垂直时,通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.如图所示.(3)判定定理:名师点拨1.直线和平面垂直的定义是描述性定义,“任何一条”与“所有”表达相同的含义.2.直线与平面垂直是直线与平面相交的特例.3.由定义可得线面垂直⇒线线垂直,即若a⊥α,b⫋α,则a⊥b.4.直线与平面垂直的判定定理告诉我们要证线面垂直可通过线线垂直来完成.5.由公理4可知平行具有传递性,因此两条平行直线中的一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面.【做一做1】直线l垂直于平面α内的无数条直线,则()A.l⊥αB.l⫋αC.l∥αD.以上均有可能答案:D【做一做2】如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PD⊥BC,PD=1,PC=求证:PD⊥平面ABCD.证明: PD=DC=1,PC=∴△PDC是直角三角形.∴PD⊥CD.又PD⊥BC,BC∩CD=C,BC⫋平面ABCD,CD⫋平面ABCD,∴PD⊥平面ABCD.ξ2ξ2题型一题型二题型三题型一对线面垂直定义的理解【例1】有下列说法:①已知三棱锥P-ABC的高为PO,且PA=PB=PC,则点O为△ABC的外心;②如果直线l与平面α不垂直,那么在α内不存在与l垂直的直线;③过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直;④与一个平面的垂线垂直的直线和这个平面平行;⑤过平面外一点和这个平面垂直的直线有且只有一条.其中正确说法的序号是.题型一题型二题型三解析:序号正误原因分析①正确如图所示,PO为三棱锥的高,则PO⊥平面ABC,O为垂足,连接OA,OB,OC,则PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.由PA=PB=PC,易得OA=OB=OC,故O为△ABC的外心②错误很明显结论错误③正确可假设结论不成立证明④错误因为平面内的任意一条直线都和该平面的垂线垂直,所以直线也可能在平面内⑤正确可假设结论不成立证明答案:①③⑤题型一题型二题型三反思在平面几何中,我们有结论:经过一点,有且只有一条直线与已知直线垂直.在立体几何中,也有类似的重要结论:结论1:过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.结论2:过一点和已知直线垂直的平面有且只有一个.题型一题型二题型三【变式训练1】下列命题正确的是()A.如果一条直线垂直于平面内的一条直线,那么这条直线和这个平面垂直B.如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线,那么这条直线和这个平面垂直C.如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直D.如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么这条直线和这个平面垂直题型一题型二题型三解析:本题主要考查直线和平面垂直的概念,解决本题关键是理解概念的本质.我们以正方体ABCD-A1B1C1D1为例,如图.直线A1C1⊥BD,且A1C1与平面ABCD内的和BD平行的直线都垂直,而A1C1与平面ABCD平行,故选项A,B,C错,正确答案是D.答案:D题型一题型二题型三题型二直线与平面垂直的判定【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E是BB1的中点,O是底面正方形ABCD的中心.求证:OE⊥平面ACD1.分析:只需证OE⊥AC,OE⊥D1O即可.其中OE⊥AC易证,通过计算可得D1E2=D1O2+OE2,从而得到OE⊥OD1.题型一题型二题型三证明:如图所示,连接AE,CE,D1O,D1B1,D1E,BD,易知AE=EC. AO=OC,∴在等腰三角形EAC中,OE⊥AC.在Rt△D1DO中,D1O=ඥ𝐷1𝐷2+𝑂𝐷2=ඨ12+൬ξ22൰2=ξ62.在Rt△EBO中,OE=ξ𝐵𝐸2+𝐵𝑂2=ඨቀ12ቁ2+൬ξ22൰2=ξ32.在Rt△D1B1E中,D1E=ඥ𝐷1𝐵12+𝐵1𝐸2=ට(ξ2)2+ቀ12ቁ2=32. D1O2+OE2=D1E2,∴D1O⊥OE. D1O∩AC=O,D1O⫋平面ACD1,AC⫋平面ACD1,∴OE⊥平面ACD1.题型一题型二题型三反思要善于利用平面图形的性质构造线线垂直关系,如等腰三角形底边上的中线、菱形的对角线、勾股定理的逆定理等,这是证明空间垂直关系的基础,解题时要善于挖掘题中隐含条件.题型一题型二题型三【变式训练2】如图,已知PA⊥☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上不同于A和B的任意一点,过点A作AE⊥PC于点E.求证:AE⊥平面PBC.证明: PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.又AB是☉O的直径,∴BC⊥AC.而PA∩AC=A...
