2.1.4函数的奇偶性目标导航课标要求1.理解函数奇偶性的定义以及奇、偶函数的图象性质.2.能利用函数奇偶性的定义判断、证明函数的奇偶性.3.能根据函数奇偶性研究函数的图象与性质.素养达成通过函数奇偶性的学习,培养学生数形结合及逻辑推理能力,数学运算、直观想象的核心素养.新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入情境导学知识探究1.奇函数的定义都有x∈Df(-x)=-f(x)偶函数的定义都有-x∈D()()fxfx2.如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是.如果一个函数是偶函数,则它的图象是以为对称轴的轴对称图形.反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是.坐标原点奇函数y轴偶函数【拓展延伸】1.定义式的等价形式:为了运算的方便,有时也使用与f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)等价的形式来判断或证明奇偶性.例如,f(-x)+f(x)=0,f(-x)-f(x)=0,fxfx=±1(当f(x)≠0时)等.2.函数按奇偶性可分为四类:(1)奇函数:对于定义域D内的任意一个x,且-x∈D,恒有f(-x)=-f(x)成立.(2)偶函数:对于定义域D内的任意一个x,且-x∈D,恒有f(-x)=f(x)成立.(3)既奇又偶函数:对于定义域D内的任意一个x,且-x∈D,恒有f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)成立.(4)非奇非偶函数:对于定义域D内的任意一个x,且-x∈D,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不成立.3.奇函数、偶函数的和差积商:在函数的公共定义域上,偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数,奇函数的和差仍为奇函数,奇(偶)数个奇函数的积商(分母不为零)为奇(偶)函数.4.若奇函数在原点处有定义,则由奇函数的定义有f(-0)=-f(0),即f(0)=0,利用这一性质可以快速解决与奇函数有关的求值问题.5.奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,而偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.6.若函数y=f(x+a)是偶函数,则f(x+a)=f(-x+a),此时函数y=f(x)关于直线x=a对称;若函数y=f(x+a)是奇函数,则f(x+a)=-f(-x+a),此时函数y=f(x)关于点(a,0)对称.自我检测1.函数f(x)=x4+2x2的图象()(A)关于原点对称(B)关于x轴对称(C)关于y轴对称(D)关于直线y=x对称C解析:由f(-x)=f(x)知函数为偶函数,故图象关于y轴对称.2.奇函数y=f(x)(x∈R)的图象必定经过点()C解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-a)=-f(a),所以f(x)经过点(-a,-f(a)),选C.(A)(a,f(-a))(B)(-a,f(a))(C)(-a,-f(a))(D)(a,f(1a))3.(2018·福建清流一中期中)下列函数是偶函数的是()(A)y=x2,x∈[0,1](B)y=1x(C)y=2x2-3(D)y=xC解析:A.y=x2,x∈[0,1],定义域不关于原点对称,因此不是偶函数,B.y=1x,定义域为(0,+∞),不关于原点对称不是偶函数,C.f(-x)=2(-x)2-3=2x2-3=f(x),此函数为偶函数;D.f(-x)=-x=-f(x),为奇函数,故选C.4.(2018·贵州贵阳期末)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,则f(-2)的值为.解析:因为x>0时,f(x)=2x-3.所以f(2)=2×2-3=1.因为f(x)为奇函数,故f(-2)=-f(2)=-1,答案:-1类型一判断函数的奇偶性课堂探究·素养提升【例1】判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x2-41x;(2)f(x)=22x+22x;(3)f(x)=x2-2x-1;(4)f(x)=220,0.xxxxxx思路点拨:利用定义判断.先求定义域.在定义域关于原点对称之下,再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立,从而确定奇偶性.解:(1)定义域为x≠0.f(-x)=(-x)2-41x=x2-41x=f(x),所以f(x)为偶函数.(2)由2220,20,xx知x2=2,所以函数f(x)的定义域为{-2,2}.此时f(x)=0,所以f(x)既是奇函数,又是偶函数.(3)f(-2)=(-2)2-2×(-2)-1=7,f(2)=22-2×2-1=-1.所以f(-2)≠-f(2)且f(-2)≠f(2),所以f(x)为非奇非偶函数.(4)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).当x>0时,-x<0,所以f(-x)=(-x)2-x=x2-x=f(x);当x<0时,-x>0,所以f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x).所以f(x)为偶函数.方法技巧(1)利用定义法判断函数奇偶性的方法:首先判断定义域是否关于原点对称.若不对称则为非奇非偶函数,若对称,再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立,也可判断f(-x)±f(x)=0是否成立或fxfx=±1(f(x)≠0)是否成立.(2)若函数定义域关于原点对称且f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)同时成立,则...
