2.3内积空间与希尔伯特空间通过前面的学习，知道n维欧氏空间就是n维线性赋范空间的“模型”，范数相当于向量的模，表明了线性赋范空间的代数结构．对于三维向量空间，我们知道向量不仅有模，而且两个向量有夹角，例如为向量和的夹角时有：cos或者cos，其中表示两个向量的数量积(或点积或内积)，表示向量的模．于是便有了直交性、直交投影以及向量的分解等概念，这些均反映了空间的“几何结构”．通过在线性空间上定义内积，可得到内积空间，由内积可导出范数，若完备则为Hilbert空间．2.3.1内积空间定义1.1设U是数域K上的线性空间，若存在映射(,)：UUK，使得,,xyzU，K，它满足以下内积公理：(1)(,)0xx；(,)00xxx；正定性(或非负性)(2)(,)(,)xyyx；共轭对称性(3)(,)(,)(,)xzyxyzy，线性性则称在U上定义了内积(,)，称(,)xy为x与y的内积，U为K上的内积空间(Innerproductspaces)．当KR时，称U为实内积空间；当KC时，称U为复内积空间．称有限维的实内积空间为欧几里德(Euclidspaces)空间,即为欧氏空间；称有限维的复内积空间为酉(Unitaryspaces)空间．注1：关于复数：设zabiC，那么22zaboz；(cossin)zri其中为辐射角、rz；2zzz；zz；对于12,zzC，有1212zzzz．注2：在实内积空间中，第二条内积公理共轭对称性变为对称性．注3：在复内积空间中，第三条内积公理为第一变元是线性的，第二变元是共轭线性的．因为(,)(,)(,)(,)(,)xyyxyxyxxy，所以有(,)(,)(,)xyzxyxz，即对于第二变元是共轭线性的．在实内积空间中，第三条内积公理为第一变元、第二变元均为线性的．在n维欧氏空间nR中，,nR，有cos，即cos．下面的引理说明这样的性质在内积空间上同样成立．如果在内积空间上定义范数12(,)xxx，其中xU，通过Schwarz不等式可证明U为线性赋范空间，即需验证12(,)满足范数公理．引理1.1Schwarz不等式设U为内积空间，,xyU有(,)xyxy．证明当0x或者0y时，显然结论成立．假设0x及0y，那么C有(,)0xyxy即0(,)xyxy(,)(,)(,)(,)xxxyyxyy(,)[(,)(,)](,)xxxyyyyx令(,)(,)xyyy，则有2(,)0(,)(,)xyxxyy，即222(,)(,)(,)xyxxyyxy，因此(,)xyxy．□讨论什么条件下？Schwarz不等式中的(,)xyxy成立．验证12(,)满足范数公理．(1)正定性和(2)齐次性容验证；(3)三角不等式：,xyU有2(,)xyxyxy(,)(,)xxyyxy(,)(,)xxyyxyxxyyxy()xyxy故xyxy．因此任何内积空间都可看成由内积导出的线性赋范空间，由范数12(,)xxx导出的距离为12(,)(,)dxyxyxyxy．例1.1在点列依范数收敛时，内积(,)xy是,xy的连续映射．即内积空间U中的点列{}nx，{}ny依范数收敛0nxx，0nyy，那么有00(,)(,)nnxyxy．证明因为当n时0nyy，所以{}ny有界，即存在正实数0M，使得nyM，那么000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnxyxyxyxyxyxy0000(,)(,)(,)(,)nnnnxyxyxyxy000(,)(,)nnnxxyxyy000nnnxxyxyy0000nnxxMxyy因此二元函数(,)(,)Fxyxy是连续函数．□2.3.2希尔伯特空间定义1.2设U是数域K上的内积空间，如果U按内积导出的范数12(,)xxx成为Banach空间，就称U为Hilbert空间，简记为H空间．注4：因为内积(,)xy可导出范数12(,)xxx，范数x可导出距离(,)dxyxy，所以有内积空间线性赋范空间度量空间．其中称完备的线性赋范空间为Banach空间，完备的内积空间为Hilbert空间．下面给出一些Hilbert空间的例子．1、实内积空间nR是Hilbert空间．对于12(,,,),nxxxxL12(,,,)nyyyyLnR，n维欧式空间nR上的标准内积定义为1122(,)nnxyxyxyxyL导出的范数为1221()inixx，距离为1221(,)()niiidxyxy．□2、复内积空间nC是Hilbert空间．对于12(,,,),nxxxxL12(,,,)nyyyyLnC，n维酉空间nC上的内积定义为1122(,)nnxyxyxyxyL导出的范数为1221()niixx，距离为1221(,)()niiidxyxy．□3、复内积空间2l是Hilbert空间．22121{|(,,),,}iiilxxxxxxLC，2,xyl，定义内积为11221(,)iiixyxyxyxyL由Cauchy不等式知112222111(,)()()iiiiiiixyxyxy，内积导出的范数为1221()iixx，距离为1221(,)()iiidxyxy．□4、复内积空间2[,]Lab是Hilbert空间．22[a,b][,]():[,]|(L)|()|LabxtabxtdtC，2,[,]xyLab定义内积为[a,b](,)()()()xyLxtytdt由荷尔德(H?lder)公式知112222[a,b][a,b][a,b][a,b](,)()()()()(())(())xyxtytdtx...
