专题一集合与常用逻辑用语、函数与导数、不等式第3讲函数与方程、函数模型及其应用预计2013年上述情况会得到延续，但出现变化的可能性也很大，即有可能直接考查函数的零点，可能在选择题或者填空题中直接考查函数建模，或者在解答题中以函数建模、导数解模为主考查函数模型及其应用．复习建议：该讲的重点是函数与方程的关系，函数零点的存在性定理，函数建模的基本方法，导数在解决函数模型中的应用，复习时要围绕这两个重点内容展开．在第一个点上要注意以数形结合思想为指导，引导学生掌握解决问题的方法；在第二个点上要注意建模的一般过程的训练，使学生掌握函数建模的基本方法．1.函数的零点与方程的根(1)函数的零点与方程根的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(2)二分法：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)检验数学结果是否满足实际情况；(5)实际问题作答：将数学问题的结果转译成实际问题作出解答.►探究点一函数的零点和方程根的分布例1(1)[2012·天津卷]函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3(2)设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝22x－1，若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>0且a≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A.14，1B．(1,4)C．(1,8)D．(8，＋∞)[思考流程](1)(分析)欲判断零点个数需研究函数性质和使用零点存在性定理⇨(推理)判断函数的单调性，使用函数在开区间内零点的存在性定理进行判断⇨(结论)得出函数零点的个数．(2)(分析)欲求实数a的范围需要知道a满足的不等式⇨(推理)推断函数的周期性，根据奇偶性与周期性拓展函数图象，数形结合得出a满足的不等式⇨(结论)解不等式得出所求范围．[答案](1)B(2)D[解析](1)法一： f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上单调递增，且f(0)×f(1)＝－1×1＝－1<0，∴函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上有一个零点．法二：将2x＋x3－2＝0化为2x＝2－x3，在同一坐标系内画出y＝2x与y＝2－x3的图象，如图所示，结合图象可知函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上有一个零点．(2)由f(2＋x)＝f(2－x)得f(4＋x)＝f(－x)，再根据函数是偶函数得f(4＋x)＝f(x)，故函数f(x)是周期为4的函数．由于函数在[－2,0]上的解析式为f(x)＝22x－1，所以函数在(0,2]上的解析式为f(x)＝22－x－1，作出函数在[－2,2]上的图象，根据周期性把函数图象拓展到区间(－2,6]上，再画出函数y＝loga(x＋2)的图象．显然在0
1时，要使两个函数的图象有4个公共点，只要f(6)>loga(6＋2)即可，即22－(6－4)－1>loga8，即loga8<1，即a>8.(注意区间的端点值)[点评]函数的零点、方程的根，都可以转化为函数图象的交点，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数的一个有效方法．在解决函数零点问题时，既要注意利用函数的图象，也要注意根据函数的零点存在性定理、函数的性质等进行相关的计算，把数与形紧密结合起来．变式题(1)已知函数f(x)＝x＋1，x≤0，log2x，x>0，则函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数是()A．2B．3C．4D．5(2)当直线y＝kx与曲线y＝e|lnx|－|x－2|有3个公共点时，实数k的取值范围是()A．(0,1)B．(0,1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)[答案](1)C(2)A[解析](1)f(x)＝0时，x＝－1或x＝1，故f[f(x)＋1]＝0时，f(x)＋1＝－1或1.当f(x)＋1＝－1，即f(x)＝－2时，...
