§8.6空间向量的概念及其运算考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§8.6空间向量的概念及其运算双基研习•面对高考1．空间向量的有关概念双基研习•面对高考基础梳理基础梳理名称定义空间向量在空间里，具有________和_______的量叫作空间向量，其大小叫作向量的______或______．自由向量与向量的________无关的向量单位向量长度或模为____的向量(非零向量a的单位向量a0＝______)零向量长度为____的向量相等向量方向_______且模______的向量相反向量方向_______而______相等的向量大小方向长度模起点1a|a|0相同相等相反模名称定义向量a，b的夹角过空间任意一点O作向量a，b的相等向量OA→和OB→，则_________叫作向量a，b的夹角，记作_________，范围是[0，π]．①当〈a，b〉＝π2时，记作_______；②当〈a，b〉＝0或π时，记作_______平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线______或_______，则这些向量叫作__________或_________．∠AOB〈a，b〉a⊥b平行重合共线向量平行向量a∥b名称定义直线的方向向量若A、B是空间直线l上任意两点，则称_____为直线l的方向向量．(与_______平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量)法向量如果直线l________平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．(所有与直线l______的非零向量都是平面α的法向量)AB→直线l垂直于平行思考感悟如何由直线的方向向量求直线的斜率？提示：直线的方向向量刻画了直线的方向，在平面上，由直线的方向向量可以确定直线的斜率．若直线的方向向量a＝(m，n)，则当m＝0时，直线的斜率不存在；当m≠0时，直线的斜率k＝nm.2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，共线的充要条件是___________________.推论如图所示，点P在l上的充要条件是：OP→＝OA→＋ta.①存在实数λ，使a＝λb其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB→＝a，则①可化为OP→＝____________或OP→＝(1－t)OA→＋tOB→.(2)共面向量定理p＝_________，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为MP→＝___________或对空间任意一点O有，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→或OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→，其中x＋y＋z＝____.OA→＋tAB→xa＋ybxMA→＋yMB→1(3)空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间三个_________的向量，a是空间任一向量，那么存在惟一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个________．3．空间向量的数量积及运算律(1)两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，即_______________叫作向量a，b的数量积，记作______，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．不共面基底|a||b|cos〈a，b〉a·b(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝________；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝____________.4．空间向量的标准正交分解与坐标表示(1)在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a，存在惟一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝______________．把__________________叫作a的标准正交分解，把__________叫作标准正交基．____________叫作空间向量a的坐标，记作a＝(x，y，z)．____________叫作向量a的坐标表示．λa·ba·b＋a·cxi＋yj＋zka＝xi＋yj＋zki，j，k(x，y，z)(x，y，z)(2)若b0为b的单位向量，称_____________________为向量a在向量b上的投影．向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．5．空间向量坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则__________________________.(2)共线与垂直的坐标表示a·b0＝|a|cos〈a，b〉a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔________⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，a⊥b⇔___________⇔__________________(a，b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a＝λba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0则|a|＝a·a＝________________，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝______________________.若A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b...
VIP
