第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1课时平面向量的概念及其线性运算考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考第1课时平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有____又有____的量，向量的大小叫做向量的____(或模)．(2)零向量：长度为__的向量，其方向是____的．(3)单位向量：长度等于_____________的向量．(4)平行向量：方向____或____的____向量．(5)相等向量：长度____且方向____的向量．(6)相反向量：长度____且方向____的向量．大小方向长度0任意1个单位长度相同相反非零相等相同相等相反温故夯基·面对高考2．向量的加法与减法(1)加法①法则：服从三角形法则和平行四边形法则．②性质：a＋b＝b＋a(交换律)；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(结合律)；a＋0＝0＋a＝a.(2)减法：减法与加法互为逆运算，服从三角形法则．3．实数与向量的积(1)|λa|＝____(2)当______时，λa与a的方向相同；当_______时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(3)运算律：设λ，μR∈，则：①λ(μa)＝__________；②(λ＋μ)a＝___________；③λ(a＋b)＝____________.λ＞0|λ||a|λ＜0(λμ)aλa＋μaλa＋λb4．两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得_________.思考感悟如何用向量法证明三点A、B、C共线？提示：首先求出AB→、AC→，然后证明AB→＝λAC→(λ∈R)，即AB→与AC→共线即可．b＝λa考点探究·挑战高考考点突破考点突破向量的有关概念(1)对向量概念的理解着重以下几方面：①向量的模；②向量的方向；③向量的几何表示；④向量的起点与终点．(2)在判定两向量的关系时，要特别注意两特殊情况：①零向量的方向及与其他向量的关系；②单位向量的长度及方向．①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量AB→与向量CD→共线，则A、B、C、D四点共线；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.以上命题中正确的个数为()例例11A．1B．2C．3D．0【思路分析】联想向量的基本概念―→注意特殊向量：零向量―→逐一考查判断【解析】①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④不正确，如果b＝0时，则a与c不一定共线．所以应选D.【答案】D【规律小结】准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，才是相等向量．共线向量和相等向量均与向量起点无关．向量的线性运算用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理．如图所示，已知OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，OE→＝e，OF→＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：(1)AD→－AB→；(2)AB→＋CF→.例例22【思路分析】由图示及已知―→分别表示AD→，AB→，CF→―→向量加减法运算―→得结果【解】(1)AD→－AB→＝OD→－OB→＝d－b.(2)AB→＋CF→＝OB→－OA→＋CO→＋OF→＝b－a－c＋f.【规律方法】解决本题的关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，或根据条件将向量平移，能熟练运用相反向量将加减法相互转化．互动探究解：BF→－BD→＝DF→＝DO→＋OF→＝－d＋f.例2的条件不变，求BF→－BD→.向量的共线问题(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决．但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．设e1，e2是两个不共线向量，已知AB→＝2e1－8e2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2.(1)求证：A、B、D三点共线；(2)若BF→＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．例例33【思路分析】(1)由已知求得BD→→观察AB→，BD→的关系→由AB→＝λBD→→得A、B...
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