第四节直线和平面垂直1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线与一个平面内的___________直线都垂直，就说这条直线垂直于这个平面．(2)直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的____________垂直，那么这条直线垂直于这个平面．(3)直线与平面垂直的性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线______．基础梳理任意一条两条相交直线平行2.点面、线面距离及线面角(1)点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，________________的距离，叫做这个点到这个平面的距离．(2)直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上________到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．(3)直线和平面所成的角①平面的一条斜线与它在这个平面内的______所成的______，叫做这个直线与这个平面所成的角．②一条直线垂直于平面，则称它们所成的角是______；一条直线与平面______________，则称它们所成的角是0°的角．这个点和垂足间任意一点射影锐角直角平行或在平面内基础达标1.下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是________(填序号)．①与平面α内的两条直线垂直；②与平面α内无数条直线垂直；③与平面α的某一条直线垂直；④与平面α内任意一条直线垂直．解析：由直线与平面垂直的定义可知，④正确．④2.(必修2P34练习1改编)已知直线l，n，n与平面α，则下列命题正确的是________．①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；④若a⊥b，b⊥α，则a∥α.解析：②中m，n相交，才能得出l⊥；④中a有可能在内．①③3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AC1与平面ABCD所成的角的正切值是________．22解析：由CC1⊥平面ABCD，知∠C1AC为直线AC1与平面ABCD所成的角，故tan∠C1AC=224.已知直线l⊥平面α，有以下几个判断：①m⊥l，则m∥α；②若m⊥α，则m∥l；③若m∥α，则l⊥m；④若m∥l，则m⊥α.上述判断中正确的是________(填序号)．解析：①中可能m⊂a，②③④正确．②③④5.如图，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，有下列四个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD.其中正确的是________(填序号)．解析：SG⊥GF，SG⊥GE，由线面垂直的判定定理，可得SG⊥平面EFG，①正确；过平面外一点垂直于平面的直线有且只有一条，则②不正确；∠EGF=90°，而GE=GF，所以∠GFE=45°，则GF不垂直于EF，则GF不垂直于平面SEF，③错；由①知，SG⊥EF，又EG=GF，D是EF中点，则EF⊥GD，由线面垂直的判定定理，得EF⊥平面SGD，④正确．①④经典例题题型一线面垂直【例1】如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，点E是棱PB的中点，求证：AE⊥平面PBC.分析：依据线面垂直的判定定理来证明．证明：因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，则BC⊥平面PAB，又AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE，又PA=AB，E是PB的中点，则AE⊥PB.又PB∩BC=B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC.变式1－1如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，∠AEF＝45°.(1)求证：EF⊥平面BCE；(2)设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE.解：(1)因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以BC⊥平面ABEF，而EF⊂平面ABEF，所以BC⊥EF.因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以∠FEB=45°+45°=90°，即EF⊥BE.因为BC⊂平面BCE，BE⊂平面BCE，BC∩BE=B，所以EF⊥平面BCE.(2)取BE的中点N，连结CN，MN，则MNABPC，所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN.因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，所以PM∥平面BCE.12题型二线面垂直的应用【例2】如图，是以AC为直径的半圆，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED，求证：EB⊥FD.AECAC分析：因为EB与FD是异面直线，所以要证明EB⊥FD，只要证明EB⊥平面FB...
