要点梳理1.几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_____(____或____)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为__________.2.几何概型中,事件A的概率计算公式P(A)=.§12.3几何概型)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A长度面积体积几何概型基础知识自主学习3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点:(1)无限性：在一次试验中,可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.4.几何概型的试验中,事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位置和形状无关.5.求试验中几何概型的概率,关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量,然后代入公式即可求解.Ω基础自测1.在区间［1,3］上任取一数,则这个数大于1.5的概率为()A.0.25B.0.5C.0.6D.0.75解析因为在［1,3］上任取一数是随机的,故这个数大于1.5的概率.432015135.13PD2.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为则阴影区域的面积为()A.B.C.D.无法计算解析由几何概型知,343832.38232,322阴正方形阴故SSSB,323.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的,则他候车时间不超过3分钟的概率是()A.B.C.D.解析此题可以看成向区间［0,5］内均匀投点,而且点落入［0,3］内的概率设为A={某乘客候车时间不超过3分钟}.则P(A)=53545251.53区域长度试验的全部结果构成的的区域长度构成事件AA4.如图所示,A是圆上固定的一点,在圆上其它位置任取一点A′,连接AA′,它是一条弦,它的长度大于等于半径长度的概率为()A.B.C.D.21324123解析如图所示,当AA′长度等于半径时,A′位于B或C点,此时∠BOC=120°,则优弧∴满足条件的概率为答案B,π34RBC.ππ32234RRP5.如图所示,在直角坐标系内,射线OT落在30°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为_____.解析如题图,因为射线OA在坐标系内是等可能分布的,则OA落在∠yOT内的概率为61.6136060题型一与长度有关的几何概型【例1】有一段长为10米的木棍,现要截成两段,每段不小于3米的概率有多大？从每一个位置剪断都是一个基本事件,基本事件有无限多个.但在每一处剪断的可能性相等,故是几何概型.思维启迪题型分类深度剖析解记“剪得两段都不小于3米”为事件A,从木棍的两端各度量出3米,这样中间就有10-3-3=4(米).在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件,所以从该题可以看出,我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样.而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解..4.0104103310)(AP探究提高知能迁移1平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为3cm,把一枚半径为1cm的硬币任意平抛在这个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是()A.B.C.D.解析如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰,故所求概率为41312132.31PB题型二与面积(或体积)有关的几何概型【例2】街道旁边有一游戏：在铺满边长为9cm的正方形塑料板的宽广地面上,掷一枚半径为1cm的小圆板.规则如下：每掷一次交5角钱,若小圆板压在正方形的边上,可重掷一次；若掷在正方形内,须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上,可获1元钱.试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？应用几何概型的概率计算公式P(A)=即可解决此类问题.思维启迪的测度的测度Dd解(1)考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7cm和9cm的正方形围成的区域内,所以概率为(2)考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的圆内,因正方形有四个顶点,所以概率为几何概型的概率计算公式中的“测度”,既包含本例中的面积,也可以包含线段的长度、体积等,而且这个“测度”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.探究提高.8132979222.ππ819241知能迁移2在边长为2的正△ABC内任取一点P,则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1...
