7.1复数的概念第七章复数学习目标1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示重点：复数的有关概念、复数的代数形式及其几何意义.难点：复数相等的条件；复数的几何意义.知识梳理一、复数的相关概念我们把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数（complexnumber），其中i叫做虚数单位（英语单词：imaginaryunit的首字母）.全体复数所构成的集合C＝{a+bi|a，b∈R}叫做复数集.复数通常用字母z表示，即z＝a+bi（a，b∈R）.以后不作特殊说明时，复数z＝a+bi都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.2.复数相等在复数集C＝{a+bi|a，b∈R}中任取两个数a+bi，c+di（a，b，c，d∈R），我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a＝c且b＝d.即两个复数相等的充要条件是：实部与虚部分别相等.3.复数的分类对于复数a+bi（a，b∈R），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a＝0且b≠0时，它叫做纯虚数.这样，复数z＝a+bi（a，b∈R）可以分类如下：(=0)(0)(=0).bba实数，复数虚数当时为纯虚数复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图7.1-1表示.图7.1-1三、复数的几何意义1、用复平面内的点表示复数若点Z的横坐标是a，纵坐标是b，则复数z＝a+bi可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，可知，复数集C中的数与复平面内的点可以建立一一对应关系.如图特别提示：复数z＝a+bi（a，b∈R）的对应点的坐标为Z（a，b），而不是（a,bi).2、用平面向量表示复数复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量可以建立如图所示的一一对应关系（实数0与零向量对应）3.复数的模（1）定义向量OZ�的模叫做复数z＝a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.即|z|＝|a+bi|＝22ab，其中a，b∈R.如果b＝0，那么z＝a+bi是一个实数a，它的模就等于|a|（a的绝对值）(2)模的常用性质设z1，z2是任意两个复数，则（1）|z1·z2|＝|z1|·|z2|，1122||||zzzz（|z2|≠0）（复数的乘、除法将在下节学习到）.（2）|zn1|＝|z1|n（n∈Z*）.（3）||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|，等号成立的条件是：①当|z1+z2|＝|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量同向共线；②当||z1|-|z2||＝|z1+z2|时，z1，z2所对应的向量反向共线.（4）||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|，等号成立的条件是：①当|z1-z2|＝|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量反向共线；②当||z1|-|z2||＝|z1-z2|时，z1，z2所对应的向量同向共线.4.共轭复数（1）定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.（2）记法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a+bi，那么＝a-bi.z（3）共轭复数的性质①()z＝z；②z＝z⇔z为实数；③z＝-z（且z≠0）⇔z为纯虚数；④z＝1z⇔|z|＝1.z一.复数的概念及分类常考题型例1已知m∈R，复数z＝(2)1mmm+（m2+2m-3）i，当m为何值时，（1）z为实数；（2）z为虚数；（3）z为纯虚数.【点拨】利用复数的分类求参数时，要先确定使构成复数的实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.【解题提示】依据复数的分类列出方程（不等式）（组）求解.解：（1）要使z为实数，需满足m2+2m-3＝0，且(2)1mmm有意义，即m-1≠0，解得m＝-3；（2）要使z为虚数，需满足m2+2m-3≠0，且(2)1mmm有意义，即m-1≠0，解得m≠1且m≠-3；（3）要使z为纯虚数，需满足(2)1mmm＝0，且m2+2m-3≠0，解得m＝0或m＝-2.训练题1［2019·河北石家庄高三质检］已知a，b∈R，则“a＝b”是“（a-b）+（a+b）i为纯虚数”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案：C解析：若a＝b＝0，则（a-b）+（a+b）i...
