§8.2双曲线考点考纲解读1双曲线的定义了解双曲线的定义,并能简单地应用.2双曲线的标准方程了解双曲线的标准方程,能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程.3双曲线的简单几何性质了解双曲线的简单几何性质,知道双曲线的有关性质,并能应用双曲线的简单几何性质解决有关问题,了解双曲线的一些实际应用.从近两年的高考试题来看,与椭圆相比,高考对双曲线的要求较低,重点考查双曲线的定义、标准方程、图形及几何性质等基础知识,题型大多为选择题、填空题,考查双曲线的定义、几何性质、基本运算能力,有时也会出现在解答题(如2011年高考江西卷理科第20题),难度为中等偏高,考查灵活运用数形结合、函数方程的思想、等价转化的思想,考查逻辑推理能力、分析问题解决问题的能力.1.双曲线的定义平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线,这两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两焦点F1,F2间的距离叫做双曲线的焦距.(1)定义的数学表达式为:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|).(2)在双曲线的定义中,若2a=|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线;当|F1F2|<2a时,动点的轨迹是不存在的.2.双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上的双曲线标准方程-=1(a>0,b>0),其中c2=a2+b2,焦点坐标为(±c,0);(2)焦点在y轴上的双曲线标准方程-=1(a>0,b>0),其中c2=a2+b2,焦点坐标为(0,±c).确定一个双曲线的标准方程,必须要有一个定位条件(即确定焦点的位置)和两个条件(即确定a,b的大小),主要有定义法、待定系数法,有22xa22yb22xb22ya时还可根据条件用代入法.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤是:第一,作判断:根据条件判断双曲线焦点在x轴上还是在y轴上,还是不确定在哪个坐标轴上.第二,设方程:根据上述判断,设为-=1(a>0,b>0)或-=1(a>0,b>0),或者mx2-ny2=1(mn>0).第三,找关系:根据已知条件建立a,b,c或m,n的方程组.第四,得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求双曲线的标准方程.22xa22yb22ya22xb焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程-=1(a>0,b>0)-=1(a>0,b>0)图形范围|x|≥a,yR∈xR,|∈y|≥a22xa22yb22ya22xb3.双曲线的简单几何性质对称性关于x轴、y轴、原点对称顶点顶点(±a,0)顶点(0,±a)焦点(±c,0)(0,±c)轴实轴长|A1A2|=2a,虚轴长|B1B2|=2b焦距|F1F2|=2c离心率e=∈(1,+∞)a,b,c的关系式c2=a2+b2ca一般而言:①双曲线有两条对称轴,它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线.②双曲线都有两个顶点,顶点是曲线与它本身的对称轴的交点.③离心率反映双曲线开口的程度,当离心率越大,双曲线的开口越大.④与双曲线-=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程都可以表示为-=λ(λ≠0),且其渐近线方程为-=0;如果双曲线的渐近线为y22xa22yb22xa22yb22xa22yb=±x,则双曲线方程可设为-=λ(λ≠0)或(bx)2-(ay)2=λ(λ≠0).4.直线与双曲线的位置关系设双曲线方程-=1(a>0,b>0),直线Ax+By+C=0,将直线方程与双曲线方程联立,消去y得到关于x的方程mx2+nx+p=0,(1)若m≠0,当Δ>0时,直线与双曲线有两个交点;当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点;当Δ<0时,直线与双曲线无公共点.ba22xa22yb22xa22yb(2)若m=0,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行.1.已知F1(-3,0)、F2(3,0),且|PF1|-|PF2|=6,则动点P的轨迹是()(A)双曲线.(B)双曲线的左支.(C)双曲线的右支.(D)一条射线.【解析】因为|PF1|-|PF2|=6,且|F1F2|=6,所以动点P的轨迹是以F2为端点的一条射线,即选D.【答案】D2.(2011年安徽卷)双曲线2x2-y2=8的实轴长是()(A)2.(B)2.(C)4.(D)4.【答案】C22【解析】双曲线方程可化为-=1,所以a2=4,得a=2,所以2a=4.故实轴长为4.24x28y1.“应用双曲线定义时要注意绝对值是一常数,且该常数小于两定”点的距离,弄清是指整条双曲线,还是双曲线的哪一支.“若无绝对”值三字,则为双曲线一支.2.求双曲线标准方程的方法(1)定义法,根据题目的条件,若满足定义,求出相应a、b、c即可求得方程.(2)待定系数法①待定系数法的步骤②待定系数法求双曲线方程的常用方法:3.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切,解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量,如a222222222222221(0),,(0),1(0).xyxyλλababbxy...
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