§8.1椭圆考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考8.1椭圆双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理2a2b.a2－b2cax＝－a2cy＝－a2cx＝a2cy＝a2c思考感悟1.在第一定义中，若没有“2a>|F1F2|”的条件，那么点的轨迹还是椭圆吗？提示：不是．若2a＝|F1F2|，动点轨迹是线段F1F2；若2a<|F1F2|，动点轨迹不存在．2．在第二定义中，定点与定直线有什么限制条件？提示：第二定义中定点不能在定直线上，且定点与定直线是椭圆相应的焦点与准线．在运用第二定义解题时，一定要注意左焦点对应左准线，右焦点对应右准线．课前热身1．(教材例1改编)椭圆25x2＋16y2＝400的焦点坐标和准线方程为()A．(±3,0)，x＝±253B．(0，±3)，y＝±253C．(±3,0)，y＝±253D．(0，±3)，x＝±253答案：B2．已知F1、F2为两定点，|F1F2|＝4，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝4，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段答案：D答案：D3．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于()A.13B.33C.12D.324．经过点P(－3,0)，Q(0，－2)的椭圆标准方程为________．答案：x29＋y24＝15．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________.答案：2考点探究·挑战高考考点突破椭圆的定义及应用当遇到与焦点距离有关的问题时，首先应考虑用定义解题．若椭圆上的点到焦点的距离直接处理较困难，且问题中有一个与离心率相关的系数时，应用第二定义转化成点到相应的准线的距离；否则应用第一定义转化成到另一焦点的距离来解决．参考教材习题8.1第4题．【思路分析】由|PF1|>|PF2|，有∠F1F2P＝90°或∠F1PF2＝90°两种情况．结合|PF1|＋|PF2|＝6和直角三角形求解．设F1、F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P为其上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求|PF1||PF2|的值．例例11【解】若∠PF2F1为直角，由已知|PF1|＋|PF2|＝6，|PF1|2＝(6－|PF1|)2＋20，得|PF1|＝143，|PF2|＝43，故|PF1||PF2|＝72；若∠F1PF2为直角，|PF1|＋|PF2|＝6，|PF1|2＋|PF2|2＝20，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，故|PF1||PF2|＝2.【名师点评】当出现焦点三角形时，常结合椭圆定义解三角形．(1)主要是利用椭圆的定义及简单性质、准线、长短轴、离心率、焦距等关系，直接求出a与b.(2)运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方程组，先定型，再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，由题目所给条件求出m、n即可．参考教材例2.求椭圆的标准方程求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝23；(2)椭圆过(3,0)，离心率e＝63.例例22【思路分析】根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，求出椭圆中的a、b即可．若判断不出焦点在哪个坐标轴上，可采用标准方程的统一形式．【解】(1) 椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝23，∴A不是长轴的端点(是短轴的端点)．∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3，∴c3＝23.∴c＝2，b2＝32－22＝5.∴椭圆的方程是x29＋y25＝1或x25＋y29＝1.(2)当椭圆的焦点在x轴上时， a＝3，ca＝63，∴c＝6，从而b2＝a2－c2＝9－6＝3，∴椭圆的方程为x29＋y23＝1，当椭圆的焦点在y轴上时， b＝3，ca＝63，∴a2－b2a＝63，∴a2＝27.∴椭圆的方程为x29＋y227＝1.∴所求椭圆方程为x29＋y23＝1或x29＋y227＝1.变式训练求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴是短轴的3倍，且经过点A(3,0)；(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3.【思维总结】本题中的两个小题，都有两种结论，但两题还有区别：(1)中直接将a与b颠倒，(2)中半长轴a就有两个值．解：(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)． 椭圆过点A(3,0)，∴9a2＝1，∴a＝3.又 2a＝3×2b，∴b＝1.∴椭圆方程为x29＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)． 椭圆过点A(3,0)，∴02a2＋9b2＝1，∴b＝3，又2a＝3×2b，∴a＝9.∴椭圆方程为y281＋x29＝1；综上所述，椭圆方程为x29＋y2...
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