§2.3函数的单调性基础知识自主学习要点梳理1.函数的单调性（1）单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2定义当x1f(x2)上升的下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是________或________，则称函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，________叫做f（x）的单调区间.增函数减函数区间D2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有___________；②存在x0∈I,使得_____________.①对于任意x∈I，都有____________；②存在x0∈I,使得_______________.结论M为最大值M为最小值f（x）≤Mf（x0）=Mf（x）≥Mf（x0）=M基础自测1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是()A.y=-x+1B.y=C.y=x2-4x+5D.解析 y=-x+1,y=x2-4x+5,分别为一次函数、二次函数、反比例函数,从它们的图象上可以看出在（0，2）上都是减函数.xy2Bxy2x2.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的根（）A.有且只有一个B.有2个C.至多有一个D.以上均不对解析 f（x）在R上是增函数，∴对任意x1,x2∈R,若x10；②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0；③④其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为______.解析依据增函数的定义可知，对于①③，当自变量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推出函数y=f（x）为增函数.;0)()(2121xxxfxf.0)()(2121xxxfxf①③题型分类深度剖析题型一函数单调性的判断判断下列函数的单调性，并证明.先判断单调性，再用单调性的定义证明.（1）采用通分进行变形，（2）采用因式分解进行变形，（3）采用分子有理化的方式进行变形.【例1】).,1[,1)()3();,1[,12)()2();,1(,12)()1(2xxxfxxxxfxxxf思维启迪解（1）函数下面采用定义证明:任取x1、x2∈（-1，+∞），且-10,x2+1>0,x2-x1>0.即f(x1)-f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2)..),1(12)(上为减函数在xxf,)1)(1()(21212)()(21122121xxxxxxxfxf,0)1)(1()(22112xxxx故在（-1，+∞）上为减函数.（2）函数f(x)=-x2+2x+1在［1,+∞）上为减函数，证明如下：任取x1、x2∈R，且x2>x1≥1,则f(x1)-f(x2)==(x2+x1)(x2-x1)+2(x1-x2)=(x2-x1)(x2+x1-2). x2>x1≥1,∴x2-x1>0,x2+x1>2,x2+x1-2>0,∴f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x2+x1-2)>0,即有f(x1)>f(x2).12)(xxf)12()12(222121xxxx)(2)(212122xxxx故函数f(x)=-x2+2x+1在［1,+∞）上是减函数.（3）函数f(x)=在［-1，+∞）上为增函数，证明如下：任取x1、x2∈［-1,+∞）且-1≤x1
