1．2任意角的三角函数1．2.2同角三角函数关系学习目标掌握同角三角函数的基本关系，能求任意角的三角函数值，能化简及证明较简单的三角恒等式.课堂互动讲练课前自主学案知能优化训练课前自主学案温故夯基1．已知角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则sinα＝_____，cosα＝_____，tanα＝_______.2．sinπ6cosπ3＋cosπ6sinπ3＝______.yx1yx知新益能同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？提示：成立，在使得函数有意义的前提下，对任意一个角，同角三角函数的基本关系式都成立，与角的表达式形式无关．问题探究课堂互动讲练利用同角三角函数基本关系求值根据一个角的正弦、余弦、正切中的一个值，求其余两个值(可简称为“知一求二”)时，要注意由于这个角所在象限情况的不同，从而可能出现一组或两组结果．(1)如果已知正弦、余弦、正切中的一个具体值，且角所在的象限也已指定，那么只有一组结果．(2)如果已知正弦、余弦、正切中的一个具体值，但未指定角所在的象限，那么要按角可能在的象限进行讨论，分别写出答案，这时一般有两组结果．(3)如果所给的三角函数值是用字母给出的，且没有指定角所在的象限，那么就需要用分类讨论思想来确定其他三角函数值．例例11若sinθ＝－45，tanθ＞0，求cosθ，tanθ的值．【思路点拨】由sinθ＜0，tanθ＞0得出θ的范围→由sin2θ＋cos2θ＝1，求cosθ→求tanθ＝sinθcosθ的值【解】由sinθ＝－45＜0，tanθ＞0，可知角θ的终边落在第三象限，∴cosθ＜0.又 sin2θ＋cos2θ＝1，∴cosθ＝－1－sin2θ＝－1－－452＝－35，∴tanθ＝sinθcosθ＝－45－35＝43.【名师点评】(1)若已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解：当角θ的范围不确定，涉及开方时，常因三角函数值的符号问题对角θ进行分区间(象限)讨论．(2)若已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解：互动探究1(1)若把题设中“tanθ＞0”去掉，结论有何变化？(2)若把“sinθ＝－45”换成“sinθ＝a，a≠0”求相应问题．解：(1)由sinθ＝－45＜0，可知θ在第三、四象限．①当θ在第三象限时，cosθ＝－1－sin2θ＝－1－－452＝－35，∴tanθ＝sinθcosθ＝－45－35＝43.②当θ在第四象限时，cosθ＝1－sin2θ＝1－－452＝35.∴tanθ＝sinθcosθ＝－4535＝－43.（2）若tanθ＞0，则θ在第一、三象限.①若θ在第一象限，sinθ＝a＞0，∴cosθ＝1－sin2θ＝1－a2∴tanθ＝sinθcosθ＝a1－a2.②若θ在第三象限，sinθ＝a＜0，∴cosθ＝－1－sin2θ＝－1－a2.∴tanθ＝sinθcosθ＝－a1－a2.③若a＝±1，cosθ＝0，故tanθ不存在．利用同角三角函数关系化简三角函数的化简实际上是一种不指定答案的恒等变形，化简的结果一般要求：函数种类尽量少，次数尽量低，项数尽量少，式子中尽可能不含根号，能求值的要求出．在化简过程中要注意：①公式的正用、逆用及变形；②观察结构特征，促成转化——角的转化、函数名的转化、积与和的转化；③常值代换，尤其是“1＝sin2α＋cos2α”的代换在三角函数式的化简中有着广泛的应用例例22化简下列各式：(1)1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin2130°；(2)1－sin4x－cos4x1－sin6x－cos6x.【思路点拨】【解】(1)原式＝sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°sin130°＋cos2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1.(2)原式＝1－[sin2x＋cos2x2－2sin2xcos2x]1－sin2x＋cos2xsin4x＋cos4x－sin2xcos2x＝1－1＋2sin2xcos2x1－[sin2x＋cos2x2－3sin2xcos2x]＝2sin2xcos2x3sin2xcos2x＝23.【名师点评】解答此类题目的关键在于公式的灵活运用切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．自我挑战2化简：1cosα1＋tan2α＋1...
