第三节等比数列知识自主·梳理最新考纲1.理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式和前n项和公式，并能够运用这些知识解决简单的实际问题．高考热点1.以选择题的形式考查等差、等比数列的基本运算及综合应用．2．以考查等比数列的基础知识为主，同时考查等比数列的性质及前n项和的性质.1.等比数列的定义如果一个数列，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母q表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝.3．等比中项如，那么G叫做a与b的等比中项．从第二项起，后项与相邻前项的比是一个确定的常数(不为零)公比a1·qn－1G2＝a·b1．等比数列中公比q≠0，因此等比数列中不存在为0的项．2．等比数列的前n项和公式是一个分段函数的形式，它以q是否等于1分两种情形来表述，因此，当等比数列的公比q的取值不确定时，要对q是否等于1分类讨论．方法规律·归纳例1已知数列{an}的前n项和为Sn，且与数列{bn}满足关系b1＝a1，对于n∈N*有an＋Sn＝n，bn＋1＝an＋1－an.求证：{bn}是等比数列，并求其通项公式．题型一等比数列的判定与证明思维提示①定义法②等比中项法又bn＋1＝an＋1－an＝12(an＋1)－an＝12(1－an)，∴bn＋1bn＝12(1－an)12(1－an－1)＝1－12(an－1＋1)1－an－1＝12(n≥2)．由an＋Sn＝n，可得a1＋S1＝a1＋a1＝1，∴a1＝12＝b1.∴b2＝12(1－a1)＝12×12＝b1·12.故bn＋1bn＝12对于n∈N*均成立，那么数列{bn}是公比q＝12的等比数列，其通项公式bn＝b1(12)n－1＝12n.备选例题1在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)证明不等式Sn＋1≤4Sn，对于任意的n∈N*皆成立．解：(1)证明：由题设an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.又a1－1＝1，∴数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)由(1)知an＝4n－1＋n，∴Sn＝4n－13＋n(n＋1)2.(3)证明：对于任意的n∈N*，Sn＋1－4Sn＝4n＋1－13＋(n＋1)(n＋2)2－4[4n－13＋n(n＋1)2]＝－12(3n2＋n－4)≤0，∴不等式Sn＋1≤4Sn，对于任意的n∈N*皆成立.例2已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.[分析]利用等比数列的基本量a1、q，根据条件求出a1和q.题型二等比数列基本量的有关计算思维提示灵活利用定义、公式及其变形[规律总结]等比数列{an}的通项公式an＝a1·qn－1，前n项和公式Sn＝na1(当q＝1时)，或Sn＝a1－anq1－q＝a1(1－qn)1－q(当q≠1时)中有五个量a1、an、n、q、Sn，通过解方程(组)，知三可求二．其中a1和q是两个基本量，用它们表示已知和未知，是经常使用的方法．等比数列中的量a1、an、q皆不为0，这是等比数列的一大特点．在等比数列求和中，要注意q＝1和q≠1两种情况，这是极易被忽视的.备选例题2在等比数列{an}中，a3－a1＝8，a6－a4＝216，Sn＝40，求公比q，a1及n.题型三利用等比数列性质及有关结论解题思维提示①等比数列性质②前n项和通项公式例3在等比数列{an}中，(1)若已知a2＝4，a5＝－12，求an；(2)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．[规律总结]本题利用了推广的通项公式an＝amqn－m(其中n，m∈N*，可以n＞m也可以n≤m)及其他性质.备选例题3已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于()A．5B．10C．15D．20答案：A例4已知数列{an}是等比数列，且Sm＝10，S2m＝30,S3m＝________(m∈N*)．[分析]a1和q是等比数列的两个基本量．由Sm＝10，S2m＝30，原则上可以求a1和q，从而求得S3m，但要考虑技巧．[解析]解法一： Sm＝10，S2m＝30，∴a11－q＝－10把a11－q整体作为未知元很关键.∴S3m＝a1(1－q3m)1－q＝(－10)×(1－23)＝70.解法二： {an}是等比数列，∴Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，即10,20，S3m－30(公比q≠－1)仍成等比数列，∴10·(S3m－30)＝202，S3m－30＝40，∴S3m＝70.[答案]70[规律总结]运用等比数列性质：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，效果显著.备选例题4在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．解法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97，b2＝a2＋a...
