平面的基本性质【例1】回答下列问题：(1)不重合的三条直线相交于一点，最多能确定多少个平面；若相交于两点，又最多能确定多少个平面？(2)分别和两条异面直线都相交的两直线的位置关系是怎样的？【解析】(1)依据“两条相交直线可确定一个平面”知：不重合的三条直线相交于一点，最多能确定3个平面．若三条直线相交于两点，则最多能确定2个平面(这里有两条直线为异面直线)．(2)不妨设a、b为异面直线，直线c分别与a、b交于点A、B，直线d分别与a、b交于点C、D.若A、C重合或B、D重合，则直线c、d相交；若A与C和B与D均不重合，则c、d异面．(否则，c、d共面，不妨设c、d共面于平面α，则c、dα，所以A、B、C、D∈α.又A、C∈a，B、D∈b，所以a、bα，与a、b异面矛盾！)(1)中若去掉“最多”二字，则前者结论是1或3；后者结论是1或2.(2)题不易从正面说清，因而用反证法，体现“正难则反”的思维规律．【变式练习1】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和CC1的中点．请画出平面DMN与平面BB1C1C及平面ABB1A1的交线．【解析】如图，平面DMN∩平面BB1C1C＝PN，平面DMN∩平面ABB1A1＝RM.共点、共线、共面问题【例2】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．【解析】(1)连结A1B、CD1.因为E是AB的中点，F是A1A的中点，则EF∥A1B.又在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B∥D1C，所以EF∥D1C.故E、C、D1、F四点共面．(2)由(1)知，EF∥D1C且EF＝D1C，故四边形ECD1F是梯形，两腰CE、D1F相交，设其交点为P，则P∈CE.又CE平面ABCD，所以P∈平面ABCD.同理，P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，所以P∈AD，所以CE、D1F、DA三线共点．12公理体系是整个立体几何的基础，是空间线面位置关系的支撑，是学生形成空间想象能力的基本依据．熟练掌握四个公理及其推论，是解决共点、共线、共面问题的关键．公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理；公理3及其推论(过直线和直线外一点、两条相交直线、两条平行直线有且只有一个平面)是判断或证明点线共面的依据．2=2.ABCDEFABCBGHCDADCGAHGDHDEHBDFG如图，空间四边形中，、分别是和的中点，、分别是【变式练习和上的点，且求证：、、】相交于同一点．1.221.3..EFACEFABCBEFACEFACCGAHHGGDHDHGACHGACEFHGEFHGEFGHEHFGKEHABDFGCBDABDCBDBDKBDEHBDFG连结，，因为、分别是和的中点，所以且＝连结，又，所以且＝所以且所以是梯形．设两腰所在直线＝，因为平面，平面且平面平面＝，所以则、、相交于【证明】同一点．【例3】一个正方体的纸盒展开后如图．在原正方体的纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.其中正确的是________．空间两条直线的位置关系【解析】原正方体如图所示，AB可平行移动到CM位置，即AB∥CM.在正方形CEMF中，CM⊥EF，故AB⊥EF，①正确，②错误；同理，MN⊥CD，故④错误，只有①③正确．答案：①③本题考查学生的空间想象能力．解决问题的关键是将其还原成正方体，要注意字母的相应位置千万不能搞错．空间两条直线的位置关系有三种：平行、相交和异面．对于异面直线，考纲泛读也仅仅是了解而已，但也必须会判断，这对理解两条异面直线的垂直问题有很大帮助．【变式练习3】如图是正方体的平面展开图，则这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BM成60°角；③BE与CN是异面直线；④DM⊥BN.其中正确命题的序号为__________.【解析】将平面展开图还原成正方体，如图所示．观察图形知，①错，因为BM与ED垂直；②对．连结BE、EM.因为CN∥BE，故∠EBM是异面直线CN、BM所成的角．在正三角形EBM中，∠EBM＝60°，故CN与BM成60°角；③错，因为BE与CN是平行直线；④对，因为CN为BN在平面CDNM内的射影，且CN⊥DM，所以BN⊥DM.综上，正确命题的序号是②④.1.(2011·四川高考改编)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的序号是②.①l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3②l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3③l1∥l2∥l3⇒l1...
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