§8.7立体几何中的向量方法考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§8.7立体几何中的向量方法双基研习•面对高考1．直线间的夹角(1)当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作_________________________．(2)当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中不超过90°的角叫作_________________．(3)已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.双基研习•面对高考基础梳理基础梳理异面直线l1与l2的夹角两直线的夹角当〈s1，s2〉≤π2时，直线l1与l2的夹角等于_________；当π2<〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于π－〈s1，s2〉．〈s1，s2〉2．平面间的夹角(1)两个平面所成的二面角的平面角的大小就是这__________________．(2)如图，平面π1和π2的法向量为n1和n2，θ＝∠MRN为两平面的夹角，它由_________确定．两个平面的夹角〈n1，n2〉θ＝____________或θ＝______________．〈n1，n2〉π－〈n1，n2〉3．直线与平面的夹角直线和平面的夹角是指这条直线与它在这个平面内的射影所成的角，其范围是________．直线和平面的夹角可以通过________________与___________________求得，若设直线与平面的夹角为θ，直线的方向向量与平面的法向量的夹角为φ，则有________________.4．点面距离[0，π2]直线的方向向量平面的法向量夹角θ＝π2－φ或θ＝φ－π2设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，则点B到平面α的距离为_________.|AB→·n||n|思考感悟如何求线面距离与面面距离？提示：求这两种距离，通常都转化为求点到平面的距离．课前热身课前热身1．(原创题)已知两平面的法向量分别为n1＝(0,1,0)，n2＝(0，－1，－1)，则两平面的夹角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°答案：A2．(2011年宝鸡调研)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案：A3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O为底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为()A.12B.24C.22D.32答案：B4．已知点M(－1,1，－2)，平面π的法向量n＝(1，－2,2)，点Q(0,0,0)在平面π内，则点M到平面π的距离为________．答案：735．已知空间三点A(1，－1，－1)，B(0,1,2)，C(0,6,6)，则向量OC→在平面OAB法向量方向上的投影是________．答案：±6考点探究•挑战高考考点突破考点突破求异面直线所成的角用空间向量求两异面直线所成的角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需通过相应的向量运算即可，但应注意：用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是θ∈(0，π2]，两向量的夹角α的范围是[0，π]，所以要注意二者的区别与联系，应有cosθ＝|cosα|.例例11(2010年高考天津卷)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明：AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1-ED-F的正弦值．【思路点拨】建立适当的坐标系，利用向量运算求解．【解】如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB＝1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1，32，0)．(1)易得EF→＝(0，12，1)，A1D→＝(0,2，－4)．于是cos〈EF→，A1D→〉＝EF→·A1D→|EF→||A1D→|＝－35.所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为35.(2)易知AF→＝(1,2,1)，EA1→＝(－1，－32，4)，ED→＝(－1，12，0)，于是AF→·EA1→＝0，AF→·ED→＝0.因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED.(3)设平面EFD的一个法向量为u＝(x，y，z)，则u·EF→＝0，u·ED→＝0，即12y＋z＝0，－x＋12y＝0.不妨令x＝1，可得u＝(1,2，－1)．由(2)可知，AF→为平面A1ED的一个法向量．于是cos〈u，AF→〉＝u·AF→|u||AF→|＝23，从而sin〈u，AF→〉＝53.所以二面角A1-ED-F的正弦值为53.【名师点评】利用向量的夹角来求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的向量的夹角为钝角时...
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