§8.1椭圆考点考纲解读1椭圆的定义了解椭圆的实际背景,掌握椭圆的几何图形、椭圆的定义,并能简单地应用.2椭圆的标准方程掌握椭圆的标准方程,会用待定系数法求椭圆的标准方程.3椭圆的简单几何性质掌握椭圆的简单几何性质,会根据椭圆的标准方程研究椭圆的性质,并能应用椭圆的简单几何性质解决有关问题.从近两年的高考试题来看,椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容,直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点.题型既有选择题、填空题,又有解答题,难度属中等偏高,部分解答题为较难题目;客观题主要考查对椭圆的概念与性质的理解及应用;主观题考查得较为全面,主要考查学生对椭圆的定义、几何性质的灵活应用,重点考查运算能力、逻辑推理能力、分析问题解决问题的能力,如2011年高考天津卷、陕西卷、辽宁卷、安徽卷、江苏卷中的椭圆主观题等.1.椭圆的定义平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两焦点F1,F2间的距离叫做椭圆的焦距.(1)定义的数学表达式为:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).(2)在椭圆的定义中,若2a=|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时,动点的轨迹是不存在的.2.椭圆的标准方程(1)焦点在x轴上的椭圆标准方程+=1(a>b>0),其中a2=b2+c2,焦点坐标为(±c,0);(2)焦点在y轴上的椭圆标准方程+=1(a>b>0),其中a2=b2+c2,焦点坐标为(0,±c).确定一个椭圆的标准方程,必须要有一个定位条件(即确定焦点的位置)和其他两个条件(即确定a,b的大小),主要有定义法、待定系数法,22xa22yb22xb22ya有时还可根据条件用代入法.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是:第一,作判断:根据条件判断椭圆焦点在x轴上还是在y轴上,还是不确定在哪个坐标轴上.第二,设方程:根据上述判断,设为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0),或者mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).第三,找关系:根据已知条件建立a,b,c或m,n的方程组.第四,得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求椭圆的标准方程.22xa22yb22ya22xb焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程+=1(a>b>0)+=1(a>b>0)图形范围|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a对称性关于x轴、y轴、原点对称22xa22yb22ya22xb3.椭圆的简单几何性质顶点长轴顶点(±a,0)短轴顶点(0,±b)长轴顶点(0,±a)短轴顶点(±b,0)焦点(±c,0)(0,±c)轴长轴长|A1A2|=2a,短轴长|B1B2|=2b焦距|F1F2|=2c离心率e=∈(0,1)a,b,c的关系式c2=a2-b2ca一般而言:①椭圆有两条对称轴,它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线.②椭圆都有四个顶点,顶点是曲线与它本身的对称轴的交点.③离心率确定了椭圆的形状(扁圆状态),当离心率越接近于0,椭圆越圆;当离心率越接近于1时,椭圆越扁.4.直线与椭圆的位置关系(1)将直线方程与椭圆方程联立,消元后得到一元二次方程,然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆是否相交、相切或相离.(2)消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标,通常是写成两根之和与两根之积的形式,这是进一步解题的基础.(3)直线y=kx+b(k≠0)与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=或|AB|=|y1-y2|=.21k21k21212()4xxxx211k211k21212()4yyyy1.(2011年泰安一模)设P是椭圆+=1上的点,若F1、F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于()(A)4.(B)5.(C)8.(D)10.【解析】由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10.【答案】D225x216y1.在解题中凡涉及求椭圆上的点到焦点的距离时,应注意利用定义求解.2.运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a,b的方程组,先定型、再定量.当焦点位置不确定时,应设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0);或者不必考虑焦点位置,直接把椭圆的标准方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),这样可以避免讨论及繁杂22xa22yb22ya22xb的计算,如当已知椭圆上两点求椭圆标准方程时,这种形式在解题时更简便.3.求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要联想到图形.当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.(1)椭圆的几何性质常涉及一些不等关系,例如对椭圆+=1(a>b>0)上的点P(x,y),点P的坐标除满足方程外,还有-a≤x≤a,-b...
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