§4.6三角函数的综合应用考点考纲解读1三角函数变换的应用会用三角函数解决一些简单的实际问题,学会由图象求解析式的方法.2三角函数的实际应用体验由实际问题抽象为数学问题的过程;能运用三角函数知识分析和处理实际问题;体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,重点是根据实际现象建立三角函数模型.3三角函数的最值问题会利用三角函数有界性或其他方法求三角函数最值.近几年由于新课程数学关于三角变换的教学要求有所降低,在高考数学题中关于三角变换的问题也随之降低,但新课程增加了三角函数模型内容,有强化三角函数的应用的趋势,因此应加强三角函数在实际问题中的应用的建模训练.考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角函数最值等综合问题,预测2013年仍保持这一趋势.1.对于y=asinx+bcosx型函数,一般化归为·sin(x+φ),tanφ=,然后求其最值和最值点.2.对于三角函数类实际问题,“”一般选择一个角作为自变量,建立数学模型,然后解之.3.三角变换中,要关注函数的变换,如面对二次齐式,一般将其分子分母同除以cos2x,转化为tanx的代数式.22abba22sincossincosaxbxcxx1.如图,一个大风车的半径为8m,每12min旋转一周,最低点离地面为2m.若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转,则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是()(A)h=8cost+10.(B)h=-8cost+10.63(C)h=-8sint+10.(D)h=-8cost+10.【解析】由T=12,排除B;当t=0时,h=2,排除A、C.故选D.【答案】D661.三角函数在实际生活的应用是中学数学建模中的一个分支,除了根据实际问题的现象抽象出三角函数模型之外,关键是根据问题选——择适当的参变量角,沟通角与其他变量之间的数量关系;另一方面,利用数据处理方法处理周期现象的数据反映出的周期变化规律也是三角函数模型中的一个重要的应用.三角知识在解决实际问题时,有着广阔的天地.三角实际应用题的建模方法,主要是引入角,构建三角形、或其他几何图形,借助于三角代换、正弦和余弦定理去解决.在应用余弦和正弦定理解答斜三角形实际问题时,要从几何作图角度、三角函数定义角度、正余弦定理角度去观察定形问题(当题目的条件能确定一个或两个三角形时),不定形问题(当题目条件对应于一个三角形集合时),在解决三角应用问题的过程中,应熟悉视角、方位角、仰角、俯角等概念.2.解斜三角形应用题的一般步骤:(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图.(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型.(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解.(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.3.求三角函数的最值问题,如果是实际问题,首先要根据实际问题建立三角函数模型,然后再由三角函数式的具体特征求其最值;如果是三角形内的数量关系,要根据边角之间的数量关系,借助于正弦函数、余弦函数的有界性,求其最值;如果是复杂三角函数式的最值问题,首先要对其实施三角变换,化成正弦型或余弦型三角函数,然后再求其最值.在具体解答有关三角函数最值问题的题目时,还应注意正弦、余弦的有界性及函数定义域对值域确定的影响;注意利用二次函数闭区间内求最大最小值的方法,以及利用重要不等式或利用数形结合和换元的方法来解答.
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