高考数学文一轮复习考案 5.3 平面向量的数量积与综合应用课件 课件VIP专享VIP免费

§5.3平面向量的数量积与综合应用考点考纲解读1平面向量数量积理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量的数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算,能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2平面向量知识的综合应用会用向量方法解决某些简单的平面几何问题,会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.从近几年的高考试题看,平面向量的数量积是高考命题的热点,主要考查平面向量的数量积的运算、几何意义、模与夹角、垂直问题.在高考中直接考查以选择题或填空题,解答题则与三角函数、解析几何综合在一起命题,有一定的难度.平面向量的数量积以及平面向量知识的综合应用,主要考查以下几方面:①平面向量数量积的含义及其物理意义,②平面向量的数量积与向量投影的关系,③向量方法解决某些简单的平面几何问题,④向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.在这些考点中,平面向量数量积的含义及其物理意义考查是比较突出的,有些问题还是有一定难度.一、两个向量的夹角1.定义:已知两个非零向量a和b,作=a,=b,∠则AOB=θ叫做向量a与b的夹角.2.范围:向量夹角的范围是0°≤θ≤180°,a与b同向时,夹角θ=0°,a与b反向时,夹角θ=.OAOB1803.向量垂直:如果向量a与b的夹角是90°,则a与b垂直,记作:a⊥b.二、平面向量数量积的意义1.a,b是两个非零向量,它们的夹角为θ,则数量|a|·|b|·cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a|·|b|·cosθ,规定0·a=0,当a⊥b时,θ=90°,这时a·b=0.2.a·b的几何意义:a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cosθ的乘积.三、向量数量积的性质1.如果e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos;2.若a、b是非零向量,则a⊥b⇒a·b=0且a·b=0⇒a⊥b;3.a·a=,|a|=;4.若a、b是非零向量,则cos=;5.|a·b|≤|a|·|b|.2||aaa||||abab四、数量积的运算律1.交换律:a·b=b·a;2.分配律:(a+b)·c=a·c+b·c;3.λR,∈λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).五、数量积的坐标表示设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则1.a·b=a1b1+a2b2;2.a⊥b⇒a1b1+a2b2=0;3.|a|=;4.若a、b是非零向量,则cos=.2212aa112222221212ababaabb1.(北京四中2011届高三上学期开学测试)已知a,b,c为非零的平面向量,甲:a·b=a·c,乙:b=c,则甲是乙的()(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充要条件.(D)既不充分也不必要条件.【解析】若a·b=a·c,则不能推出b=c.反过来b=c,可以得到a·b=a·c,所以是必要不充分条件.【答案】B2.(山东省莱阳市2011届高三上学期期末)已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b与a垂直,则λ=.【解析】λa+b=(λ+4,-3λ-2),λa+b与a垂直,则(λ+4)×1+(-3λ-2)×(-3)=0,10∴λ=-10,∴λ=-1.【答案】-13.(广东省肇庆市2011届高三上学期期末考试)若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且|b|=3,则b=.【解析】因为向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,则向量b与向量a共线,∴向量b可以设为(λ,-2λ),∴=3,∴λ=±3,∵反向,∴λ=-3,∴b=(-3,6).【答案】(-3,6)522(2)λλ51.在求夹角的过程中,当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角,需求得a·b及|a|,|b|或得出它们的关系,若已知a与b的坐标,则可直接利用公式cosθ=.2.在求模的过程中,利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理办法:(1)|a|2=a2=a·a,(2)|a±b|2=a2±2a·b+b2,(3)若121222221122xxyyxyxya=(x,y)则|a|=.3.在证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行的充要条件:a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0(b≠0).22xy在证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件:a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.4.要注意向量应用的综合性,即向量和其他数学内容的结合,如和函数、数列、三角、解析几何等结合.这类题目往往综合度要求比较高.