第9节*傅里叶级数的复数形式傅里叶级数还可以用复数形式表示，讨论傅里叶级数的复数形式将为学习傅里叶积分和傅里叶变换等作必要的准备，而傅里叶积分和傅里叶变换则是电子技术的基本数学工具．设周期为的周期函数的傅里叶级数为(9.1)其中系数为(9.2)利用欧拉公式，，(9.1)式化为(9.3)记(9.4)则(9.3)式就表示为于是，的傅里叶级数可以更简洁地表示为(9.5)这就是傅里叶级数的复数形式．为得出系数的表达式，将(9.2)式代入(9.4)式，得1将已得的结果合并写为(9.6)(9.5)式与(9.6)式就是傅里叶系数的复数形式．【例9.1】已知周期为2的电压信号函数将它展开成复数形式的傅立叶级数．解此时由公式(9.6)得系数()将求得的代入级数(9.5)，得时，的傅立叶级数收敛于．习题13-91.将下列函数展开成复数形式的傅立叶级数．(1)锯齿波，周期为．(2)全波整流波，周期为．2.设周期函数周期为．将其展开成复数形式的傅立叶级数，并求其和函数．3.设是周期为的周期函数，已知其傅立叶级数的复数形式为试写出的其傅立叶级数的实数形式（三角形式）．总习题十三21．选择题(1)设常数,则级数().A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.收敛性与的值有关．*(2)下列命题中正确的是()A.若则.B.若且收敛,则收敛.C.若且收敛,则收敛.D.若且与均收敛,则收敛．(3)设为正项级数，下列结论中正确的是A.若=0，则级数收敛.B.若存在非零常数，使得，则级数发散.C.若级数收敛，则.D.若级数发散,则存在非零常数，使得．(4)设，，，则下列命题正确的是．A.若条件收敛，则与都收敛．B.若绝对收敛，则与都收敛．C.若条件收敛，则与敛散性都不定．D.若绝对收敛，则与敛散性都不定．(5)设,其中,，则等于A.B.C..D.．32．判别下列级数的敛散性:(1)；(2)．*(3)；(4)．3．讨论下列级数是否收敛?如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛?(1)；(2)；*(3)(为常数)．(4)；*4．设,证明：(1)存在；(2)级数收敛．5．设正项数列单调减少,且发散，试讨论级数的敛散性．6．设,试证:对任意的常数,级数收敛.7．设函数在的某一邻域内具有二阶连续导数,且,,证明：级数绝对收敛．8．将函数展成的幂级数．9．求级数的和．解的和是幂级数在处的值。，记。。，记。4。令得。10．求级数的和．11．将函数展开成的幂级数,并求级数的和.*12．求幂级数（）的和函数及其极值．*13．设有幂级数。(1)证明此幂级数的收敛区间是；(2)设此幂级数的和函数是，求；(3)用初等函数表示．解（1）设的前项和是。则所以的收敛区间是。故的收敛区间是。（2）（3）特征方程的根，的通解5，不是特征方程的根。设的特解是。，代入方程得。的通解由得，。由得，。*15．*16．6
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