【考纲下载】能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.第5讲数列的综合应用1．数列应用问题的常见模型(1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量有一个固定的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)．(2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，该模型是等比模型．(3)混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列的模型．(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型．如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推关系的知识求解问题．2．数列与其他分支的知识的综合应用(1)主要为数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何、极限等知识的综合．(2)解此类综合题，首先要认真审题，弄清题意，分析出涉及哪些数学分支内容，在每个分支中各是什么问题；其次，要精心分解，把整个大题分解成若干个小题或“步骤”，使它们成为在各自分支中的基本问题；最后，分别求解这些小题或步骤，从而得到整个问题的结论．1．(2009·四川卷)等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是()A．90B．100C．145D．190解析： ＝a1·a5，∴(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)．∴d2＝2a1d，而d≠0，∴d＝2a1＝2.S10＝10×1＋×2＝100.答案：B2．(2009·江西卷)公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于()A．18B．24C．60D．90解析：由题意可知S10＝10×(－3)＋×2＝60.答案：C3．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是()A．4n＋2B．4n－2C．2n＋4D．3n＋3解析：白色地面砖的块数为等差数列，首项为6，公差为4，即得通项为4n＋2.答案：A4．一张厚度为0.1mm的矩形纸，每次将此纸沿对边中点连线对折，一共折叠20次(假定这样的折叠是可以完成的)，这样折叠后纸的总厚度h1与一座塔的高度h2＝100m的大小关系为h1________h2.解析：设厚度构成数列{an}，则a1＝0.1，a2＝0.2，a3＝0.4，…，a21＝0.1·220，即{an}为公比为2的等比数列而220>1000000，∴h1>h2.答案：>对于同一个数列，某些项在一定的条件下可以成为等比数列，另一些项在特定条件下也可以成为等差数列，寻找这个数列项之间的关系是解题的关键．【例1】设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．(1)求数列{an}的通项；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.思维点拨：设出等比数列，从等差数列建立方程，再判定{bn}的特征．解：(1)由已知得解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝由题意得q>1，∴q＝2.∴a1＝1.故数列{an}的通项为an＝2n－1(n∈N*)．(2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2，又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差数列．∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝故Tn＝ln2，n＝1,2，….变式1：设{an}是等差数列，{bn}是各项为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13.求{an}，{bn}的通项公式．解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，依题意有q>0且解得d＝2，q＝2，∴an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1.【例2】在一次人才招聘会上，有A，B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司许诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司许诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：(1)若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？(2)该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其他因素)，该人应该选择哪家公司，为什么？(3...
