●基础知识一、函数的单调性1．(函数单调性的充分条件)设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，则f(x)为函数；如果f′(x)<0，则f(x)为函数．2．(函数单调性的必要条件)设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f(x)在该区间上单调递增(或递减)，则在该区间内f′(x)0(或f′(x)0)．增减≥≤二、函数的极值1．函数极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有点，都有，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为．f(x)f(x0)极值2．判断极值的方法：当函数f(x)在点x0处可导，判别f(x0)是极大(小)值的方法是：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极值．大小三、函数的最大值与最小值1．函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上可导的函数f(x)，在[a，b]上有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内可导的函数f(x)有最大值与最小值．2．求最大值与最小值的步骤：设函数f(x)在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a，b)内的值；(2)将f(x)在各值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．不一定必极f(a)、_f(b)极●易错知识一、概念应用错误1．判断正误：对于函数y＝x3有y′＝3x2，由y′＝0得x＝0，所以x＝0是函数y＝x3的一个极值点()．答案：×2．如若函数f(x)＝x3－ax在R上为增函数，则a的取值范围是____________．解题思路： f′(x)＝3x2－a，f(x)在R上为增函数，∴3x2－a≥0在x∈R时恒成立．∴a≤3x2恒成立，即a≤(3x2)min＝0，当a＝0时，f′(x)＝3x2，只有f′(0)＝0；x≠0时，f′(x)>0，因此f(x)在R上也是增函数．失分警示：分辨不清，错把f′(x)>0，当成函数f(x)是增函数的充要条件，得出错误结论，a<0.答案：a≤0二、极值与最值概念混淆致误3．求函数f(x)＝x3－x2－x在[－2,3]上的最大值和最小值．错解：f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－2(－2，－)－(－，1)1(1,3)3f′(x)＋0－0＋f(x)－1所以f(x)在[－2,3]上的最大值为，最小值为f(1)＝－1.分析：本题错在将极大值误认为是最大值，极小值误认为是最小值．事实上，极值可有多个，但最大(小)值却只有一个；极值只能在区间内取得，而最值则可取极值，也可在端点处取得，求最值时一定要把极值和端点函数值比较，从而得出最值．正解：令f′(x)＝3x2－2x－1＝0得x＝－或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可知，f(x)在[－2,3]上的最大值为f(3)＝15，最小值为f(－2)＝－10.x－2(－2，－)－(－，1)1(1,3)3f′(x)＋0－0＋f(x)－10－115●回归教材1．(教材改编题)函数y＝2x2－5x＋7的单调递增区间为()A．(－∞，)B．(，＋∞)C．(－∞，)D．(，＋∞)解析：由y′＝4x－5＞0得x＞，∴函数的单调递增区间为(，＋∞)．故选D.答案：D2．函数y＝x4－8x2＋2在[－1,3]上的最大值为()A．11B．2C．12D．10解析：令y′＝4x3－16x＝4x(x2－4)＝4x(x＋2)(x－2)＝0，得x1＝－2，x2＝0，x3＝2.由图可知，y在x＝0处取极大值2.又x＝3时，y＝11.∴最大值为11，故选A.答案：A3．(2009·宁夏银川一模)若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(x＋1)的单调递减区间是()A．(0,2)B．(1,3)C．(－4，－2)D．(－3，－1)解析：令y′＜0得，y＝f(x)的减区间为(1,3)，那么f(x＋1)的单调递减区间为(0,2)．答案：A4．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，下列四个图象：其中最有可能是函数y＝f(x)的图象的是()解析：由导函数图象可知f(x)的单调性：在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，因此选项C正确．故选C.答案：C5．函数f(x)＝x4－1在闭区间[－1,2]上的最大值与最小值分别为________．解析： f′(x)＝4x3＞0，x＞0∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由f′(x)＜0得x＜0，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数．∴f(x)在[－1,0]上是减函数，在...
