第三节三角函数的图象与性质重点难点重点：三角函数的图象与性质．难点：①三角函数性质的应用．②五点法画图．③三角函数图象的平移变换、对称变换和伸缩变换．知识归纳1．有向线段：一条与坐标轴平行的线段可以规定两种相反的方向，若线段的方向与坐标轴的一致，就规定这条线段是正的，否则，就规定它是负的．2．三角函数线设角α的终边与单位圆交于点P，过P点作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，过点A(1,0)作单位圆的切线，与角α的终边或终边的反向延长线相交于点T，则有向线段、、分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．正向ONOMAT3．“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的简图五点的取法是：设X＝ωx＋φ，由X取来求相应的x值及对应的y值，再描点作图．0，π2，π，3π2，2π4．图象变换：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象可由函数y＝sinx的图象作如下变换得到：(1)相位变换：y＝sinx―→y＝sin(x＋φ)，把y＝sinx图象上所有的点向(φ＞0)或向(φ＜0)平行移动|φ|个单位．左右(2)周期变换：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标(0＜ω＜1)或(ω＞1)到原来的1ω倍(纵坐标不变)．(3)振幅变换：y＝sin(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)，把y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐标(A＞1)或(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变，相位变换见平移变换)，周期变换和振幅变换都是伸缩变换．伸长缩短伸长缩短5．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A叫做振幅，T＝2πω叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．函数y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期为.函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期为.2π|ω|π|ω|6．正弦曲线y＝sinx的对称轴为．对称中心为；余弦曲线y＝cosx的对称轴为，对称中心为；函数y＝tanx图象的对称中心为(kπ2，0)(k∈Z)．x＝π2＋kπ(k∈Z)(kπ，0)(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)(π2＋kπ，0)(k∈Z)7．三角函数的图象与性质三角函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z}值域和最值[－1,1]，当x＝2kπ－π2(k∈Z)时，ymin＝－1，当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，ymax＝1[－1,1]，当x＝2kπ时(k∈Z)，ymax＝1，当x＝2kπ＋π时(k∈Z)，ymin＝－1值域R，无最大值和最小值周期2π2ππ奇偶性奇偶奇对称性对称中心(kπ，0)k∈Z对称轴x＝kπ＋π2，k∈Z对称中心(kπ＋π2，0)，k∈Z对称轴x＝kπ，k∈Z对称中心(kπ2，0)，k∈Z无对称轴单调区间增区间[2kπ－π2，2kπ＋π2]减区间[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)减区间[2kπ，2kπ＋π]增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)在(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是增函数误区警示1．用五点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)在一个周期内的图象时，应使ωx＋φ取五个值0、π2、π、3π2、2π算出对应的x的值和y值如表.x↑ωx＋φ0π2π32π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0也可以先求出其一个值(如令ωx＋φ＝0)，然后依据y＝Asin(ωx＋φ)的周期，顺次列出其余各值．特别注意画出正余弦函数在某闭区间内的图象时，所取点必须在闭区间内，且必须列出区间的两端点．．．．．．．．．．．．2．在既有平移变换、又有伸缩变换的三角函数图象变换问题中，应特别注意先平移再伸缩和先伸缩再平移时平移单位数的区别．3．伸缩变换中应该乘以1m而不是m(m是伸缩的倍数)，牢记无论平移还是伸缩，都仅对坐标进行变换．4．函数y＝sinx在[2kπ－π2，2kπ＋π2]，(k∈Z)的每一个区间上都是增函数，但在k取不同值时，对应的两个区间的并集上不单调．y＝cosx，y＝tanx都有类似特点．如函数y＝tanx在第一象限内是增函数是错误的，你能说明原因吗？5．函数y＝sinx、y＝cosx的图象的对称轴经过图象的最高点或最低点．6．y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间的确定：(1)当A>0，ω>0时，由于U＝ωx＋φ是增函数，故y＝AsinU单增(减)时，复合函数y＝Asin(ωx＋φ)单增(减)．从而解不等式2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)求出x的取值范围，即该函数的增区间，解不等式2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋3π2(k∈Z)可得该函数的单调减区间．(2)当A>0，ω<0时， U＝ωx＋φ为减函数，故再如(1...
