进入学案学案44含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式名师伴你行考点一考点一考点二考点二考点三考点三名师伴你行返回目录1.实数的绝对值的意义a(a≥0)-a(a<0)，根据上面定义，对a,bR∈，有|ab|=,=(b≠0).对xR∈，aR+∈，有|x|
ax2>a2.ba在实数集R中，有|a|=|a|·|b||b||a|-aa或x<-a名师伴你行返回目录2.和差的绝对值与绝对值的和差的关系定理1.定理1的推论|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.定理2.3.含有绝对值的不等式的解法（同解性）（1）|f(x)|g(x)等价于；（3）|f(x)|<|g(x)|等价于.f2(x)g(x)或f(x)<-g(x)名师伴你行考点一绝对值的基本性质【例1】设xy<0,x,yR∈，那么下列各式正确的是（）A.|x+y|>|x-y|B.|x-y|<|x|+|y|C.|x+y|<|x-y|D.|x-y|<|x|-|y|【分析】作为选择题，可以用特殊值法进行判断，避免复杂的论证，也可以利用熟悉的绝对值不等式来判断.名师伴你行返回目录【解析】解法一：（特殊值法）取x=1,y=-2,则满足xy=-2<0，这样有|x+y|=|1-2|=1,|x-y|=|1-(-2)|=3,|x|+|y|=1+2=3,||x|-|y||=|1-2|=1.∴只有C成立，而A,B,D不成立.解法二：由xy<0x≠y|x-y|>0.∴|x+y|>|x-y|>0(x+y)2>(x-y)2xy>0与已知矛盾.∴A不成立，易知C成立，也易知B，D不成立.故应选C.名师伴你行返回目录【评析】这里的不等关系是对一切满足xy<0的任意实数x,y都成立，因此判断其不真，只要对满足条件的某个x,y指出其不真即可，这是解法一取特殊值的出发点，解法二是通过将所给的不等关系进行逻辑推理，作出等价变形，由此等价的不等关系来推断出原不等关系的真伪.名师伴你行返回目录＊对应演练＊＊对应演练＊已知|a+b|<-c(a,b,cR)∈，给出下列不等式：①a<-b-c;a>-b+c;ax2-3x-4;（2）.【分析】按解绝对值不等式的方法求解.14-x3x2【解析】（1）解法一：原不等式等价于x-x2-2>x2-3x-4或x-x2-2<-(x2-3x-4),∴原不等式的解集为{x|x>-3}.名师伴你行返回目录解法二： |x-x2-2|=|x2-x+2|,而x2-x+2=∴|x-x2-2|=|x2-x+2|=x2-x+2,故原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4x>-3.∴原不等式的解集为{x|x>-3}.（2）9x2≤(x2-4)2(x≠±2)x4-17x2+16≥0x2≤1或x2≥16-1≤x≤1或x≤-4或x≥4.047)41-(x21)4-x3x(14-x3x222名师伴你行返回目录【评析】（1）若|f(x)|中的f(x)的值的范围可确定（包括恒正或恒非负、恒负或恒非正），就可直接脱掉绝对值符号，从而简化解题过程.（2）的解法也可将原不等式转化为-1≤≤1求解，但过程较繁，不如上面的解法简捷.4-x3x2名师伴你行返回目录＊对应演练＊＊对应演练＊设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|.（1）解不等式f(x)>2;（2）求函数y=f(x)的最小值.名师伴你行返回目录（1）令y=|2x+1|-|x-4|,则y=-x-5,x≤-3x-3,-2的解集为(-∞,-7)(,+∞).∪35（2）由函数y=|2x+1|-|x-4|的图象可知，当x=-时，y=|2x+1|-|x-4|取得最小值-.352921名师伴你行返回目录考点三绝对值不等式的证明【分析】（1）将x=0，1代入f(x)验证可得.（2）代入，因式分解出|x1-x2|再判定其余部分的大小.（3）添加项并利用不等式的性质进行放缩.（4）转化为求f(x)的最大值和最小值问题.【例3】已知f(x)=x2-x+c定义在区间［0,1］上，x1,x2∈［0,1］，且x1≠x2，证明：（1）f(0)=f(1);（2）|f(x2)-f(x1)|<|x1-x2|;（3）|f(x1)-f(x2)|<;（4）|f(x1)-f(x2)|≤.2141名师伴你行返回目录【证明】（1）f(0)=c,f(1)=c,故f(0)=f(1).（2）|f(x2)-f(x1)|=|-x2+c-+x1-c|=|x2-x1||x2+x1-1|, 0≤x1≤1,0≤x2≤1...
