第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1命题学习目标重点难点1.能说出命题的概念,会判断一个语句是否是命题.2.能够判断命题的真假.3.会分析命题的结构,分清条件和结论.重点:会分析命题的结构,分清条件和结论.难点:命题真假的判断.1.命题及其真假一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.预习交流1下列语句中:①空集是任何集合的真子集;②垂直于同一平面的两条直线平行;③0是自然数吗?④2x-4>0;⑤我希望明年考上北京大学.其中是命题的为,是真命题的为.提示:①②②2.命题的条件和结论在数学中,具有“若p,则q”形式的命题是常见的.我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.预习交流2指出下列命题中的条件p和结论q:(1)若整数a能被2整除,则a是偶数;(2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直平分;(3)若a>0,b>0,则a+b>0;(4)垂直于同一直线的两个平面平行.提示:(1)的条件是一个整数a能被2整除,结论是这个整数是偶数;(2)的条件是一个四边形是菱形,结论是该四边形的对角线互相垂直平分;(3)的条件是a>0且b>0,结论是a+b>0;(4)的条件是两个平面垂直于同一直线,结论是这两个平面平行.一、命题的定义及其判断下列语句是命题的是,其中是真命题的是.(写出序号即可)①x=2是方程x2-4x+4=0的解;②函数f(x)=1x在定义域上是减函数吗?③一个整数不是质数就是合数;④3100不是个大数;⑤若sinα=sinβ,则α=β或α+β=π;⑥空间中与同一条直线平行的两条直线互相平行;⑦x2-x-1>0.答案:①③⑤⑥①⑥解析:①是命题,并且是真命题;②不是命题,因为这是一个疑问句;③是命题,并且是假命题,因为整数1既不是质数也不是合数;④不是命题,因为“大数”的标准不存在,无法判断其真假;⑤是命题,并且是假命题,当sinα=sinβ时,应有α=2kπ+β或α+β=2kπ+π(k∈Z);⑥是命题,并且是真命题,这是平行公理;⑦不是命题,因为当x∈R时,x2-x-1>0的真假无法判断.1.下列语句中命题的个数为().①f(x)=3x(x∈R)是指数函数;②x-2>0;③集合{a,b,c}有3个子集;④这盆花太漂亮了!A.1B.2C.3D.4答案:B解析:②中含有变量x且未确定其取值,无法判断真假.④不是陈述句,是感叹句.2.下列命题中,是真命题的是().A.{⌀}是空集B.{x∈N||x-1|<3}是无限集C.e是有理数D.x2-5x=0的根是自然数答案:D1.并不是任何语句都是命题,一个语句是命题应具备两个条件:一是陈述句;二是能够判断真假.一般来说,疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断真假.若能,就是命题;若不能,就不是命题.还有一些语句,目前无法判断真假,但从事物的本质而论,这些语句是可辨别真假的,尤其是科学上的一些猜想等,这类语句也叫做命题.2.一个命题要么是真的,要么是假的,不能模棱两可.给出一个命题,判断它是真命题,必须经过严格的逻辑推理;而要说明它为假命题,只要举出一个反例即可.二、命题的结构把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假:(1)当ac>bc时,a>b;(2)已知x,y为整数,当y=x+1时,y=3,x=2;(3)当x2-2x-3=0时,x=3或x=-1;(4)等底等高的两个三角形面积相等;(5)在△ABC中,当A>60°时,必有sinA>32.思路分析:对每个命题的结构进行分析,区分其条件和结论,并注意大前提的写法.解:(1)若ac>bc,则a>b.假命题.(2)已知x,y为整数,若y=x+1,则y=3且x=2.假命题.(3)若x2-2x-3=0,则x=3或x=-1.真命题.(4)若两个三角形等底等高,则这两个三角形的面积相等.真命题.(5)在△ABC中,若A>60°,则sinA>32.假命题.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假:(1)内接于圆的四边形的对角互补;(2)被5整除的整数的末位数字是5;(3)当a>0时,函数y=ax+b是增函数;(4)三角形相似,对应边成比例.解:(1)若四边形内接于圆,则它的对角互补.真命题.(2)若一个整数被5整除,则它的末位数字是5.假命题.(3)若a>0,则函数y=ax+b是增函数.真命题.(4)若两个三角形相似,则它们的对应边成比例.真命题.1.分清条件和结论,是对命题进行真假判断的关键,有些命题的条件和结论的叙述并不分明,而且由于对命题理解的不同,会得出不同的条件与结论.2.对命题进行改写时,一定要找...
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