第十编计数原理§10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理要点梳理1.分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N=种不同的方法.m1+m2+…+mn基础知识自主学习2.分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N=种不同的方法.m1×m2×…×mn3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及的不同方法的种数.它们的区别在于：分类加法计数原理与有关，各种方法，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与有关，各个步骤，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.完成一件事情分类相互独立分步相互依存基础自测1.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为（）A.6B.5C.3D.2解析“完成这件事”即选出一人作主持人，可分选女主持人和男主持人两类进行，分别有3种选法和2种选法，所以共有3+2=5种不同的选法.B2.设集合A={1，2，3，4}，m，n∈A，则方程+=1表示焦点位于x轴上的椭圆有（）A.6个B.8个C.12个D.16个解析因为椭圆的焦点在x轴上，所以当m=4时，n=1,2,3；当m=3时，n=1,2；当m=2时，n=1,即所求的椭圆共有3+2+1=6个，故选A.mx2ny2A3.右图是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件.在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）A.15B.16C.17D.18解析只需A处给D处10件，B处给C处5件，C处给D处1件，共16件次.B4.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数（）A.7B.64C.12D.81解析由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，第二步选长裤有3种选法，所以，有4×3=12种选法，故选C.C5.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？（3）若只需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？解（1）“完成这件事”只需从老师、学生中选1人即可，共有3+8+5=16种.(2)“完成这件事”需选2人，老师、学生各1人，分两步进行：选老师有3种方法，选学生有8+5=13种方法，共有3×13=39种方法.(3)“完成这件事”需选3人，老师、男同学、女同学各一人，可分三步进行：选老师有3种方法，选男同学有8种方法，选女同学有5种方法，共有3×8×5=120种方法.题型一分类加法计数原理【例1】在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？采用列举分类，先确定个位数字，再考虑十位数字的所有可能.然后用分类加法计数原理.解方法一一个两位数由十位数字和个位数字构成，考虑一个满足条件的两位数，可先确定个位数字后再考虑十位数字有几种可能.一个两位数的个位数字可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.把这样的两位数分成10类.思维启迪题型分类深度剖析（1）当个位数字为0时，十位数字可以是1，2，3，4，5，6，7，8，9，有9个满足条件的两位数；（2）当个位数字为1时，十位数字可以是2，3，4，5，6，7，8，9，有8个满足条件的两位数；（3）当个位数字为2时，十位数字可以是3，4，5，6，7，8，9，有7个满足条件的两位数；以此类推，当个位数字分别是3，4，5，6，7，8，9时，满足条件的两位数分别有6，5，4，3，2，1，0个.由分类加法计数原理，满足条件的两位数的个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1+0=45个.方法二考虑两位数“ab”与“ba”中，个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思想计算.所有90个两位数中，个位数字等于十位数字的两位数为11，22，33，…，99共9个；另有10，20，30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置；其余90-18=72个两位数，...
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