§6.3不等式的综合应用考点考纲解读1不等式与函数的综合会利用不等式求函数定义域,能利用函数比较两数大小,了解不等式与函数之间的转化.2不等式与数列的综合能利用不等式知识证明关于数列的不等式,以及关于不等式的最值问题.3不等式与导数的综合会利用不等式研究函数的单调性问题,能将不等式问题转化为函数,然后利用导数求解.4不等式在实际问题中的应用会利用基本不等式与线性规划解决实际问题.高考近几年加大了知识交汇点处命题的力度,单独解不等式或证明不等式的题目明显减少,不等式试题更多的是与函数、方程、数列、三角、解析几何、立体几何及实际应用问题相互交叉和渗透,而且充分体现出不等式的知识网络所具有的极强的辐射作用.以当前经济、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点,主要考查学生阅读理解以及分析、解决问题的能力.证明不等式常以函数为背景考查,在函数、不等式、数列、解析几何、导数等知识网络的交汇点处命题,特别要注意与函数、导数综合命题这一变化趋势.1.不等式的应用范围十分广泛,许多问题,最终都可归结为不等式的求解、证明或求最值.这类问题大致可以分为两类:一类是建立不等式、解不等式,建立不等式的主要途径有:利用问题的几何意义;利用判别式;利用函数的有界性;利用函数的单调性;利用均值不等式;另一类是建立函数式求最大值或最小值.2.不等式应用题大都是以函数的面目出现,以最优化的形式展现.在解题过程中涉及均值不等式,常常与集合问题,方程(组)解的讨论,函数定义域、值域的确定,函数单调性的研究,三角、数列、立体几何中的最值问题,解析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等有着密切的关系.解题的关键是找出各部分的知识点和解法,充分利用相关的知识和方法求解,要依据题设的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为不等式的求解、证明或求最值问题.3.解答不等式的实际应用问题,一般可分三个步骤:①阅读理解材料.“应用题所用语言多为文字语言、符号语言、图”形语言并用,而且文字叙述篇幅较长,阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景,确定问题中量与量之间的关系,初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路,明确解题的方向.②建立数学模型,即根据题意找出常量与变量的不等关系.③利用不等式的有关知识解题,即将数学模型转化为数学符号或图形符号.1.(2011年浙江温州一模)如果对于任意实数x,
表示不小于x的最小整数,例如<1.1>=2,<-1.1>=-1,“那么|x-y|<1”“是=”的()(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充要条件.(D)既不充分也不必要条件.【解析】=⇒|x-y|<1,而令x=1.9,y=2.1时,|x-y|<1,但≠.【答案】B2.(2011年福建莆田质检)已知函数f(x)=,则使方程x+f(x)=m有解的实数m的取值范围是()(A)(1,2).(B)(-∞,-2].(C)(-∞,1)∪(2,+∞).(D)(-∞,1]∪[2,+∞).【答案】D1,01,0xxx【解析】m=x+f(x)=,当x≤0时,m≤1;当x>0时,m≥2,因此实数m的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞).1(0)1(0)xxxxx3.(2011年辽宁锦州月考)设01,即(ax)2-2ax+1>4⇔(ax-1)2>4⇔ax-1>2或ax-1<-2,所以ax>3或ax<-1(舍去),因此x
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