第2课时奇偶性的应用1．巩固函数奇偶性的性质，并能熟练应用．2．能利用函数的奇偶性、单调性解决一些综合问题．1．定义在R上的奇函数，必有f(0)＝__.2．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是___函数，且有__________.3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是_______．自学导引0最小值－M增函数增奇函数的图象一定过原点吗？自主探究答：不一定．若0在定义域内，则图象一定过原点，否则不过原点，如函数y＝1x(x≠0)的图象．1．若点(－1,3)在奇函数y＝f(x)的图象上，则f(1)等于()A．0B．－1C．3D．－3解析：由题知f(－1)＝3，因为f(x)为奇函数，所以－f(1)＝3，f(1)＝－3.答案：D预习测评2．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是()A．4B．2C．1D．0解析：根据偶函数图象关于y轴对称知，四个交点的横坐标是两对互为相反数的数，因此它们的和为0.答案：D3．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.解析：设x<0，则－x>0，f(－x)＝－x＋1，又函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)＝－－x－1.因此，当x<0时，f(x)的解析式为f(x)＝－－x－1.答案：－－x－1函数f(x)＝－x在区间[－1,1]上为减函数，当x取区间左端点的值时，函数取得最大值1.答案：14．若函数f(x)＝－x＋abx＋1为区间[－1,1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值为________．解析：f(x)为[－1,1]上的奇函数，且在x＝0处有定义，所以f(0)＝0，故a＝0，则f(x)＝－xbx＋1.又f(－1)＝－f(1)，所以－－1－b＋1＝1b＋1，故b＝0，于是f(x)＝－x.1．由奇函数和偶函数的性质，可得单调性与奇偶性的联系：奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．即(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．要点阐释2．几个基本函数的奇偶性：(2)y＝kx＋b(k≠0)，当b＝0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数又不是偶函数；(3)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当b＝0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数又不是偶函数．(1)y＝kx(k≠0)是奇函数；题型一利用奇偶性求函数解析式【例1】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求：(1)f(0)；(2)当x<0时，f(x)的解析式；(3)f(x)在R上的解析式．解：(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.典例剖析(3)函数f(x)在R上的解析式为点评：首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．f(x)＝－2x2＋3x＋1，x>0，0，x＝0，2x2＋3x－1，x<0.(2)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，x<0.1．已知f(x)是偶函数，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x＋1，试求函数f(x)在x∈[－1,1]上的表达式．解：任取x∈(0,1]，则－x∈[－1,0)，f(－x)＝－x＋1.又f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－x＋1.所以f(x)＝－x＋1，x＋1，x∈0，1]，x∈[－1，0].题型二函数奇偶性与单调性的综合应用【例2】已知奇函数y＝f(x)，x∈(－1,1)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－3x)<0.解： y＝f(x)，x∈(－1,1)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＋f(1－3x)<0⇔f(1－x)<－f(1－3x)⇔f(1－x)3x－1点评：函数单调性的实质是自变量的变化与函数变化的内在统一性，解答这类题的思路是：先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含“f”的式子，然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解．0
VIP
