第34讲│平面向量的基本定理及坐标运算第第3434讲平面向量的基本讲平面向量的基本定理及坐标运算定理及坐标运算知识梳理第34讲│知识梳理1．平面向量的基本定理如果e1，e2是一个平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，_________一对实数λ1，λ2，使________．其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________．[注意]e1、e2是同一平面内的一组基底，如果有且只有一对实数(λ1，λ2)，使a＝λ1e1＋λ2e2，则a、e1、e2共面．不共线有且只有a＝λ1e1＋λ2e2基底第34讲│知识梳理2．两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零．．向量a和b，如图34－1，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做a与b的________．图34－1夹角第34讲│知识梳理(2)a与b的几种特殊位置关系如下表：位置关系同向反向垂直夹角θθ＝____θ＝____θ＝____图形3.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个________的向量，叫做把向量正交分解．0°180°90°互相垂直第34讲│知识梳理4．平面向量的坐标表示及坐标运算图34－2(1)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同．．的两个________i，j作为基底．由平面向量的基本定理知，该平面内的任意向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，因此把______叫做向量a的坐标，记作________，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．注：两个向量相等的充要条件是这两个向量在________与________上的坐标分别相等．单位向量(x，y)a＝(x，y)x轴y轴第34讲│知识梳理(2)平面向量的坐标运算向量aba＋ba－bλa坐标(x1，y1)(x2，y2)______________________(3)向量的坐标求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝____________，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的________坐标减去________的坐标．注:向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系．(x1＋x2，y1＋y2)(x1-x2，y1-y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)终点始点第34讲│知识梳理(4)向量共线的充要条件的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，则向量a与b共线⇔b＝λa⇔________________.x1y2－x2y1＝0要点探究►探究点1平面向量基本定理的应用第34讲│要点探究例1如图34－3所示，在△OAB中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC交于点M，设OA→＝a，OB→＝b，用a，b表示OM→.图34－3第34讲│要点探究[思路]已知a，b是平面内的两个不共线向量，根据平面向量的基本定理，向量a，b可作基底，故可设OM→＝ma＋nb(m，n∈R)，需利用向量AM→与AD→共线，向量CM→与CB→共线，建立关于m，n的方程组．第34讲│要点探究[解答]设OM→＝ma＋nb(m，n∈R)，则AM→＝(m－1)a＋nb，AD→＝－a＋12b. 点A、M、D共线，∴AM→与AD→共线，∴m－1－1＝n12，即m＋2n＝1.①而CM→＝OM→－OC→＝m－14a＋nb，CB→＝－14a＋b. C、M、B共线，∴CM→与CB→共线，∴m－14－14＝n1，即4m＋n＝1.②联立①②解得m＝17，n＝37.∴OM→＝17a＋37b.第34讲│要点探究[点评]解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘，把其他相关的向量用这一组基底表示出来，再利用向量相等建立方程组，从而解出相应的值．通过下面变式题可以发现，只要是平面内不共线的两个向量都可以作为基底，平面内的向量都可以被这一组基底表示出来．第34讲│要点探究已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，以AB→、AC→为一组基底来表示AD→＋BD→＋CD→.[思路]由平面向量基本定理，本题可用待定系数法，把所求向量用基底表示，即设AD→＋BD→＋CD→＝λ1AB→＋λ2AC→，再利用向量相等的条件，列出方程组，进而求出待定系数，然后写出表达式．第34讲│要点探究[解答]由已知得AB→＝(1,3)，AC→＝(2,4)，AD→＝(－3,5)，BD→＝(－4,2)，CD→＝(－5,1)，∴AD→＋BD→＋CD→＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．设AD→＋BD→＋CD→＝λ1AB→＋λ2AC→，则(－12,8)＝λ1(1,3)＋λ2(2,4)，∴λ1＋2λ2＝－12，3λ1＋4λ2＝8，解得λ1＝32，λ2＝－22.∴AD→＋...
