第五节反函数知识自主·梳理最新考纲了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数．高考热点1.以选择题的形式考查反函数的求法．2．以互为反函数的图象关系考查图象的变换.反函数(1)函数与它的反函数的关系是：定义域、值域，对应关系．(2)对于任何一个函数f(x)，不一定存在反函数，只有定义域中不同的x值对应y值的函数才具有反函数．(3)求函数y＝f(x)的反函数的一般步骤是：①由y＝f(x)中解出x＝f－1(y)，判断x是y的函数；②互换x，y得表达式；③写出y＝f－1(x)的(即y＝f(x)的值域)．互换互逆不同的y＝f－1(x)定义域(4)由互为反函数的图象关于对称可知：①若点(a，b)在y＝f(x)的图象上，则(b，a)必在的图象上；②若y＝f(x)为奇函数，则y＝f－1(x)也为．(5)与反函数有关的问题通常有三类：一是求反函数；二是已知反函数，求原函数的表达式中的参数值，或用反函数研究原函数；三是函数与其反函数的图象间的关系．y＝xy＝f－1(x)奇函数①只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数．②反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此，反函数的定义域不能由其解析式来求，而应该由原函数的值域来确定．③互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于直线y＝x对称.重点辨析方法规律·归纳[分析]考查求反函数的步骤方法．题型一反函数的概念及求法思维提示①用y表示x②x、y互换．②标定义域例1求下列函数的反函数．(1)y＝2x＋3x－1(x＜－1)(2)y＝x2－2x－1(x≤0)(3)y＝－x－2(4)y＝x2－1(x≥0)2x－1(x＜0)[解]根据求反函数的步骤求解．(1)y＝2x＋3x－1＝2＋5x－1，在x＜－1时为减函数，存在反函数，原函数值域为y|－12＜y＜2.又由y＝2x＋3x－1得x＝y＋3y－2，故反函数为y＝x＋3x－2(－12＜x＜2)．(2) y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2且x≤0，∴y≥－1，由y＝(x－1)2－2得(x－1)2＝y＋2，由x≤0知x－1＝－y＋2，x＝1－y＋2，∴y＝x2－2x－1(x≤0)的反函数是y＝1－x＋2(x≥－1)(3)函数y＝－x－2的定义域是{x|x≤－2}，值域：{y|y≥0}，由y＝－x－2得－x－2＝y2，∴x＝－y2－2.∴y＝－x－2的反函数是y＝－x2－2(x≥0)．(4)当x≥0时，由y＝x2－1得x＝y＋1，y≥－1.∴f－1(x)＝x＋1(x≥－1)．当x＜0时，由y＝2x－1得x＝y＋12，y＜－1.∴f－1(x)＝12x＋12(x＜－1)∴原函数的反函数为f－1(x)＝x＋1(x≥－1)，12x＋12(x＜－1).[规律总结]此类问题，实际上只要做两件事：①解一个方程；②求一个函数的值域，分段函数的反函数可以分别求出各段的反函数后再合成.备选例题1求下列函数的反函数：(1)f(x)＝1－1－x2(－1≤x＜0)；(2)f(x)＝x2－1(0≤x≤1)，x2(－1≤x＜0).(2)设y＝f(x)＝x2－1(0≤x≤1)，x2(－1≤x＜0)，当0≤x≤1时，－1≤y≤0，由y＝x2－1得x＝1＋y.当－1≤x＜0时，0＜y≤1，由y＝x2得x＝－y.故函数y＝f(x)的反函数为f－1(x)＝1＋x(－1≤x≤0)，－x(0＜x≤1)题型二原函数与反函数图象间的关系思维提示两图象关于y＝x对称例2解答下列问题：(1)若点(4,3)既在函数y＝1＋ax＋b的图象上，又在它的反函数的图象上，求其反函数的解析式；(2)函数f(x)＝1－2x1＋x，函数g(x)的图象与函数y＝f－1(x＋1)的图象关于直线y＝x对称，求g(5)．[分析]对于(1)，点(4,3)关于直线y＝x的对称点(3,4)也在原函数的图象上；对于(2)可以先解出f－1(x)，写出g(x)，也可以利用反函数的意义．[解](1) (4,3)在y＝f(x)的图象上，∴1＋4a＋b＝3⇒4a＋b＝4.① (4,3)在其反函数图象上，∴(3,4)在原函数图象上，即f(3)＝4，∴1＋3a＋b＝4⇒3a＋b＝9.②①－②得a＝－5，代入①得b＝24，∴f(x)＝1＋24－5x.∴f－1(x)＝－15x2＋25x＋235，x∈[1，＋∞)．(2)解法一： y＝f－1(x＋1)，∴f(y)＝x＋1，∴x＝f(y)－1，∴y＝f－1(x＋1)的反函数是y＝f(x)－1.即g(x)＝f(x)－1，g(5)＝f(5)－1＝－52.解法二：y＝f(x)与y＝f－1(x)的图象关于y＝x对称，当f－1(x)沿x轴负方向平移一个单位时，关于y＝x对称的图象y＝f(x)沿y轴负方向平移一个单位，于是f－1(x＋1)和f(x)－1互为反函数．即g(x)＝f(x)－1，g(5)＝f(5)...
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