3.2立体几何中的向量方法第一课时空间向量与平行、垂直关系学习目标重点难点1.记住直线的方向向量和平面的法向量.2.能够利用直线的方向向量和平面的法向量证明空间的平行、垂直关系.重点:线线平行与垂直、线面平行与垂直、面面平行与垂直的证明方法.难点:平面法向量的求解与应用.1.方向向量与法向量(1)空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个定方向确定,如图A是直线l上一点,向量a表示直线l的方向(方向向量).(2)直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a⊥α,向量a叫做平面α的法向量.预习交流1对于一条确定的直线和一个确定的平面,它的方向向量及法向量有几个?提示:一条直线的方向向量有无数多个,它们都是共线向量;一个平面的法向量也有无数多个,它们也都是共线向量.2.空间平行关系的向量表示(1)线线平行:设直线l,m的方向向量分别为a,b,则l∥m⇔a∥b⇔a=kb,k∈R.(2)线面平行:设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,则l⊂α或l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0.(3)面面平行:设平面α,β的法向量分别为u,v,则α∥β⇔u∥v⇔u=kv,k∈R.3.空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直:设直线l,m的方向向量分别为a,b,则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b=0.(2)线面垂直:设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,则l⊥α⇔a∥u⇔a=ku,k∈R.(3)面面垂直:若平面α的法向量为u,平面β的法向量为v,则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0.预习交流2(1)已知直线l的方向向量u=(2,-1,3),平面α的法向量v=(-6,3,-9),则l与α的位置关系是.提示:由于u∥v,所以直线l与平面α垂直.(2)若两个不同平面α,β的法向量分别是u=(1,2,-3),v=(2,-4,-2),则两个平面的位置关系是.提示:由于u·v=2-8+6=0,所以u⊥v,即α⊥β,故两个平面垂直.一、利用方向向量和法向量判定线面的位置关系(1)设a,b分别是不重合的直线l1,l2的方向向量,根据下列条件判断l1和l2的位置关系:①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3);②a=(5,0,2),b=(0,4,0);③a=(-2,1,4),b=(6,3,3).(2)设u,v分别是不同的平面α,β的法向量,根据下列条件判断α,β的位置关系:①u=(1,-1,2),v=13,2,-2;②u=(0,3,0),v=(0,-5,0);③u=(2,-3,4),v=(4,-2,1).(3)设u是平面α的法向量,a是直线l的方向向量,根据下列条件判断α和l的位置关系:①u=(2,2,-1),a=(-3,4,2);②u=(0,2,-3),a=(0,-8,12);③u=(4,1,5),a=(2,-1,0).思路分析:可先判断方向向量与法向量的关系,再判断线线、线面、面面的位置关系.解:(1)① a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3),∴a=-13b.∴a∥b.∴l1∥l2.② a=(5,0,2),b=(0,4,0),∴a·b=0.∴a⊥b.∴l1⊥l2.③ a=(-2,1,4),b=(6,3,3),∴a与b不共线,也不垂直.∴l1与l2相交或异面.(2)① u=(1,-1,2),v=13,2,-2,∴u·v=3-2-1=0.∴u⊥v.∴α⊥β.② u=(0,3,0),v=(0,-5,0),∴u=-35v.∴u∥v.∴α∥β.③ u=(2,-3,4),v=(4,-2,1),∴u与v不共线,也不垂直.∴α与β相交但不垂直.(3)① u=(2,2,-1),a=(-3,4,2),∴u·a=-6+8-2=0.∴u⊥a.∴l⊂α或l∥α.② u=(0,2,-3),a=(0,-8,12),u=-14a,∴u∥a.∴l⊥α.③ u=(4,1,5),a=(2,-1,0),∴u与a不共线,也不垂直.∴l与α斜交.1.已知平面α和β的法向量分别是(-1,3,4)和(x,1,-2),若α⊥β,求x的值.解: α⊥β,∴(-1,3,4)·(x,1,-2)=0.∴-x+3-8=0,x=-5.2.已知直线l的方向向量u=(2,-1,3),且l经过点A(0,y,3)和B(-1,2,z),求y,z的值.解:uuurAB=(-1,2-y,z-3),由于l经过A,B两点,所以u∥uuurAB,故213123yz,解得y=32,z=32.3.如图,已知点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),求平面ABC的一个法向量.解:由已知可得,uuuruuuruurABOBOA=(0,b,0)-(a,0,0)=(-a,b,0),uuuruuuruurACOCOA=(0,0,c)-(a,0,0)=(-a,0,c).设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),则n·uuurAB=(x,y,z)·(-a,b,0)=-ax+by=0,n·uuurAC=(x,y,z)·(-a,0,c)=-ax+cz=0.于是得y=abx,z=acx.不妨令x=bc,则y=ac,z=ab.因此,可取n=(bc,ac,ab)为平面ABC的一个法向量.若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下:(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组·0,·0...
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