第3课时圆的方程第3课时圆的方程考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考1．圆的定义(1)在平面内，到_____的距离等于_____的点的集合叫做圆．(2)确定一个圆的要素是_____和______．定点定长圆心半径2．圆的方程圆的标准方程圆的一般方程方程__________________________________________________________________________圆心坐标(a，b)___________半径r_____________(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)(－D2，－E2)12D2＋E2－4F思考感悟方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是什么？提示：充要条件是D2＋E2－4F＞0.考点探究·挑战高考求圆的方程考点突破考点突破(1)确定圆的方程的主要方法是待定系数法．如果选择标准方程，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心(a，b)和半径r.(2)如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程．圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法．例例11(2011年江门调研)根据下列条件求圆的方程．(1)圆心C(2，－1)，且截直线y＝x－1所得弦长为2；(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(3)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．【思路分析】(1)(2)涉及圆心与半径，设圆的标准方程求解比较简单，(3)用一般方程求解比较简单．2【解】(1)设圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)．由题意知，圆心到直线y＝x－1的距离为d＝|2－（－1）－1|12＋（－1）2＝2.又直线y＝x－1被圆截得的弦长为22，∴22＝2r2－d2，即22＝2r2－2，解得r＝2.∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.(2)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有b＝－4a3－a2＋－2－b2＝r2|a＋b－1|2＝r，解得a＝1，b＝－4，r＝22.∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线方程为y＋2＝x－3，其与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．∴r＝22.∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(3)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则1＋144＋D＋12E＋F＝0，49＋100＋7D＋10E＋F＝0，81＋4－9D＋2E＋F＝0，解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.【规律方法】求圆的方程的一般步骤为：①根据题意选用圆的方程两种形式中的一种；②根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；③解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题多采用几何法：(1)形如m＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为直线在y轴上的截距的最值问题．(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题．例例22已知实数x、y满足(x－1)2＋y2＝4，求x－2y的最小值与最大值．【思路分析】设z＝x－2y，依题意直线x－2y－z＝0与圆(x－1)2＋y2＝4有交点，有交点的主要条件为圆心到该直线的距离不大于圆的半径，从而构建关于z的不等式，即可求解x－2y的最大值和最小值．【解】设z＝x－2y，也就是x－2y－z＝0.由已知，圆心(1,0)到该直线的距离不大于圆的半径2，即|1－z|12＋－22≤2，解得1－25≤z≤1＋25，∴(x－2y)min＝1－25，(x－2y)max＝1＋25.互动探究本例条件不变，求yx＋2的取值范围．解：设k＝yx＋2，也就是kx－y＋2k＝0，由已知，圆心(1,0)到该直线的距离不大于圆的半径2，即|k＋2k|k2＋－12≤2，解得k2≤45，也就是－255≤k≤255，即－255≤yx＋2≤255.与圆有关的轨迹问题求轨迹方程的大致步骤：(1)建立平面直角坐标系，设出动点坐标；(2)确定动点满足的几何等式，并用坐标表示；(3)化简得方程，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，如有特殊情况，可适当予以说明，即删去增加的解或补上失去的解．例例33等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．【思路分析】设出C点的坐标(x...
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