第4节平面向量的应用(对应学生用书第66页)1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算和数量积解决平行、垂直、长度、夹角等问题．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①证明线线平行或点共线问题，主要利用共线向量定理，即a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.②证明垂直问题，主要利用向量数量积，即a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.③求线段的长，主要利用向量的模，即|a|＝a2＝x12＋y12.④求夹角问题，利用数量积的变形公式：即cosθ＝cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x12＋y12·x22＋y22.2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理中的力、速度、位移都是向量，它们的分解与合成是向量的加法与减法的具体应用，可用向量来解决．(2)物理中的功W是一个标量，它是力f与位移s的数量积，即W＝f·s＝|f||s|cosθ.3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．1．在△ABC中，有命题：①AB―→－AC―→＝BC―→；②AB―→＋BC―→＋CA―→＝0；③若(AB―→＋AC―→)·(AB―→－AC―→)＝0，则△ABC为等腰三角形；④若AC―→·AB―→＞0，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是(C)(A)①②(B)①④(C)②③(D)②③④解析： AB―→－AC―→＝CB―→＝－BC―→≠BC―→，∴①错误．AB―→＋BC―→＋CA―→＝AC―→＋CA―→＝AC―→－AC―→＝0，∴②正确．由(AB―→＋AC―→)·(AB―→－AC―→)＝AB―→2－AC―→2＝0⇔|AB―→|＝|AC―→|，∴△ABC为等腰三角形，③正确．AC―→·AB―→＞0⇒cos〈AC―→，AB―→〉＞0，即cosA＞0，∴0°＜A＜90°，但不能确定B，C大小，∴不能判定△ABC是否为锐角三角形，∴④错误，故选C.2．已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为(D)(A)lg2(B)lg5(C)1(D)2解析：F1＋F2＝(1,2lg2)，W＝(F1＋F2)·s＝2lg2＋2lg5＝2.故选D.3．已知A，B，C是△ABC的三个顶点，AB―→2＝AB―→·AC―→＋AB―→·CB―→＋BC―→·CA―→，则△ABC的形状为(B)(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形解析：AB―→2＝AB―→·(AC―→＋CB―→)＋BC―→·CA―→＝AB―→2＋BC―→·CA―→，∴BC―→·CA―→＝0，∴∠C＝90°，△ABC为直角三角形，故选B.4．(教材改编题)平面上有三个点A(－2，y)，B(0，y2)，C(x，y)，若AB―→⊥BC―→，则动点C的轨迹方程为__________．解析： AB―→＝(2，－y2)，BC―→＝(x，y2)，又AB―→⊥BC―→，∴AB―→·BC―→＝0，即2x－y24＝0，化简得y2＝8x.答案：y2＝8x(对应学生用书第66～68页)向量在平面几何中的应用【例1】如图所示，若点D是三角形ABC内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证：AD⊥BC.思路点拨：可设AD―→，AB―→，AC―→为基向量，把CD―→，BD―→用它们表示，只需证AD―→·BC―→＝0.证明：设AB―→＝c，AC―→＝b，AD―→＝m，则BD―→＝AD―→－AB―→＝m－c，CD―→＝AD―→－AC―→＝m－b. AB2＋CD2＝AC2＋BD2，∴c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，即c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2，即2m·(c－b)＝0，即AD―→·(AB―→－AC―→)＝0，∴AD―→·CB―→＝0，∴AD⊥BC.用向量法解决平面几何问题，先用向量表示相应的线段、夹角等几何元素(或者建立平面直角坐标系)，然后通过向量的运算获得向量之间的关系，最后把运算结果“翻译”成几何关系，从而得到几何问题的结论．变式探究11：在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是()(A)|AC―→|2＝AC―→·AB―→(B)|BC―→|2＝BA―→·BC―→(C)|AB―→|2＝AC―→·CD―→(D)|CD―→|2＝AC―→·AB―→×BA―→·BC―→|AB―→|2解析：对选项C，如图所...
