高考数学一轮总复习 4.25 三角形中的三角函数课件 理 课件VIP专享VIP免费

第25讲三角形中的三角函数【学习目标】掌握三角形形状的判断方法；三角形有关三角函数求值，能证明与三角形内角有关的三角恒等式．【基础检测】1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝()A.725B．－725C．±725D.2425A【解析】 8b＝5c，由正弦定理得8sinB＝5sinC，又 C＝2B，∴8sinB＝5sin2B，所以8sinB＝10sinBcosB，易知sinB≠0，∴cosB＝45，cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝725.2．在△ABC中，已知3b＝23asinB，且cosB＝cosC，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形B【解析】 asinA＝bsinB＝csinC＝2r，∴b＝2rsinB，a＝2rsinA，又3b＝23asinB，∴3·2rsinB＝23·2rsinAsinB. B为三角形的内角，∴sinB≠0，∴sinA＝32，∴A＝60°或120°，又cosB＝cosC，B，C均为三角形的内角，∴B＝C，∴△ABC为等边三角形或一个角为120°的等腰三角形，故选B.3．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角的度数是()A．60°B．90°C．120°D．135°C【解析】在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c，∴a∶b∶c＝1∶1∶3，设a＝k(k＞0)，则b＝k，c＝3k，最大边为c，其所对的角C为最大角，则cosC＝k2＋k2－（3k）22k×k＝－12， C∈(0°，180°)∴C＝120°，选C.4．在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则△ABC周长的最大值为_________．33【解析】由正弦定理得asinA＝csinC＝bsinB＝332＝2，∴a＝2sinA，c＝2sinC，则△ABC周长为l＝2sinA＋2sinC＋3＝2sinA＋2sin(120°－A)＋3＝23sinA＋π6＋3≤33，∴△ABC周长的最大值为33.【知识要点】1．判断三角形的形状特征必须从研究三角形的边角关系入手，充分利用正、余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一．①等腰三角形：a＝b或A＝B.②直角三角形：_____________或______________．③钝角三角形：_____________或______________．④锐角三角形：若a为最大边，且满足______________或A为最大角，且_______________．b2＋c2＝a2A＝90°a2＞b2＋c2A＞90°a2＜b2＋c2A＜90°2．△ABC中常用的一些基本关系式①A＋B＋C＝_________．②sin(B＋C)＝__________，cos(B＋C)＝__________，tan(B＋C)＝______________．③sinB＋C2＝__________，cosB＋C2＝_________，tanB＋C2＝_____________．πsinA－cosA－tanAcosA2sinA21tanA2一、判断三角形的形状例1在△ABC中，若bcosCccosB＝1＋cos2C1＋cos2B，试判断△ABC的形状．【解析】由已知1＋cos2C1＋cos2B＝2cos2C2cos2B＝cos2Ccos2B＝bcosCccosB，所以cosCcosB＝bc.解法一：利用正弦定理边化角．由正弦定理，得bc＝sinBsinC，所以cosCcosB＝sinBsinC，即sinCcosC＝sinBcosC，即sin2C＝sin2B.因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法二：由余弦定理，得a2＋b2－c22aba2＋c2－b22ac＝bc，即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)，所以a2c2－c4＝a2b2－b4，即a2b2－a2c2＋c4－b4＝0，所以a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0，即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0，所以b2＝c2或a2－b2－c2＝0，即b＝c或a2＝b2＋c2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．【点评】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．注：在上述两种方法的等式变形中，一般等式两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．二、三角形中的三角函数求值问题例2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝π4，bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a.(1)求证：B－C＝π2；(2)若a＝2，求△ABC的面积．【解析】(1)证明：由bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a，应用正弦定理，sinBsin...