高考数学一轮总复习 第27讲 平面向量的数量积课件 文 新课标 课件VIP免费

掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解应用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直问题的方法．____________().______.1____________________2____________________3__________________1._已知两个非零向量和，它们的夹角为，我们把数量①叫做与的数量积或内积，记作②_______________________规定：零向量与任一向量的数量积为③向量的数量积满足的运算向律：④；⑤量数⑥的；量积abab_.数量积的性质：1122()().23________..xyxyabababab若，，，，则_____________⑬向．向量在上的投影为⑭两个向量、垂直的充分必要条件是____⑮量数量___积的坐标运___．定理__算212121212cos||cos0()()()0ababababbaababababcacbcaeaaabababxxyyabbxxyy①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩；；；；；南】指【要点11121314151.(2011·重庆卷)已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为()A．1B．2C．3D．4【解析】a＋b＝(3，k＋2)，因为a＋b与a共线⇒k＋2＝3k⇒k＝1，即a＝(1,1)，所以a·b＝1×2＋1×2＝4.2.已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为()A.655B.135C.13D.65【解析】|a|cosθ＝|a|a·b|a|·|b|＝a·b|b|＝2×－4＋3×742＋72＝1365＝655.3.(2012·福建六校联考)在平面上给定非零向量e1，e2满足|e1|＝3，|e2|＝2，e1，e2的夹角为60°，则|2e1－3e2|的值为6.【解析】由题意e1·e2＝|e1|·|e2|cos60°＝2×3×12＝3.所以|2e1－3e2|＝4e21－12e1·e2＋9e22＝4×9－12×3＋9×4＝36－36＋36＝6.4.若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4D．3【解析】8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)，所以(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30，解得x＝4.5.已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取范围是(－∞，－43)∪(0，13)∪(13，＋∞).【解析】a与b的夹角为锐角，即cosθ＝a·b|a|·|b|>0且a≠kb，可得λ<－43或λ>0且λ≠13，故填(－∞，－43)∪(0，13)∪(13，＋∞)．易错点：对夹角为锐角的要求只注意到cosθ>0而忽略cosθ≠1的限制．一数量积的运算及模长【例1】(1)(2011·福建卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则a·b＝__________；(2)已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为π4，求(3a－2b)·(a－2b)与|a＋b|.【分析】利用向量数量积的坐标式或定义及运算律求解，求|a＋b|可先求(a＋b)2，再开方．【解析】(1)a·b＝1×(－1)＋1×2＝2－1＝1.(2)a·b＝|a||b|·cosπ4＝3×4×22＝62，a2＝|a|2＝9，b2＝|b|2＝16，所以(3a－2b)·(a－2b)＝3a2－8ab＋4b2＝3×9－8×62＋64＝91－482.因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2×62＋16＝25＋122，所以|a＋b|＝25＋122.【点评】(1)向量的数量积有两种计算方法：(ⅰ)根据数量积的定义，a·b＝|a|·|b|cosθ(ⅱ)根据向量坐标，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a·b＝x1x2＋y1y2.(2)利用数量积求模长是重点，方法如下：①若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2；②|a|2＝a2＝a·a；③|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.已知|a|＝3，|b|＝2.(1)若a与b的夹角为150°，求|a＋2b|；(2)若(a－b)与a垂直，求a与b的夹角的大小．素材1【解析】(1)因为|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4ab＋4b2＝|a|2＋4|a||b|cos150°＋4|b|2＝(3)2＋4×3×2×(－32)＋4×22＝7，所以|a＋2b|＝7.(2)因为(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝a2－a·b＝0，所以a·b＝a2，所以cosa，b＝a·b|a||b|＝|a|2|a||b|＝32.因为0°≤a，b≤180°，所以a，b＝30°.二求平面向量夹角【例2】已知|a|＝1，a·b＝12，(a－b)·(a＋b)＝12.(1)求a与b的夹角；(2)求a－b与a＋b的夹角的余弦值．【分析】(1)由(a－b)和(a＋b)的数量积可得出|a|，|b|的关系，再求夹角余弦值．(2)先分别求出a－b与a＋b的模．【解析】(1)因为(a－b)·(a＋b)＝12，所以|a|2－|b|2＝12，又因为|a|＝1，所以|b|＝|a|2－12＝22，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a|·|b|＝121×22＝22，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4.(2)因为(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝...