第2课时等比数列的性质1．对于正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则等比数列{an}中，am，an，ap，aq的关系为.2．等比数列{an}满足时，{an}是递增数列；满足时，{an}是递减数列．am·an＝ap·aqa1>0且q>1或a1<0且00，且013．在任意两个非零实数a和b之间，也可以插入n个数使之成为等比数列，但要注意，在实数范围内，当ab>0，q>0时，a，b之间可以插入个数，当ab>0，q<0时，a，b之间可以插入个数，当ab<0时，在a和b之间可以插入个数．任意奇数偶数1．在等比数列{an}中，a2009＝a2011＝3，则a2010＝()A．3B．－3C．±3D．9解析：a2010＝＝±3.答案：C2．已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值为()A．5B．10C．15D．20解析：a2a4＝a23，a4a6＝a25，∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2，即(a3＋a5)2＝25，又 an>0，∴a3＋a5＝5.答案：A3．在等比数列{an}中，已知a2＝2，a6＝162，则a10＝________.解析：a10＝a26a2＝13122.答案：131224．{an}是公差不为零的等差数列，且a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，若b1＝3，则bn＝________.解析：{an}是公差不为零的等差数列，设首项为a1，公差为d， a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，∴(a1＋9d)2＝(a1＋6d)·(a1＋14d)，整理可得d＝－23a1.设数列{bn}的公比为q，则q＝a10a7＝a1＋9da1＋6d＝53.∴bn＝b1qn－1＝3×(53)n－1.5．在等比数列{an}中，若a3＋a8＝124，a4a7＝－512，且公比q为整数，求a10.解：由a4a7＝－512，得a3a8＝－512.又a3＋a8＝124，所以a3，a8是方程x2－124x－512＝0的两根．又q为整数，所以a3＝－4，a8＝128，q＝－2，所以a10＝a8q2＝512.[例1]已知等比数列{an}，{bn}的公比分别为q1，q2，求证{an·bn}也是等比数列，且公比为q1·q2.[分析]利用定义，只需证＝q，则{an}为等比数列．[证明]设cn＝an·bn，则cn＋1＝an＋1·bn＋1∴cn＋1cn＝an＋1·bn＋1an·bn＝an＋1an·bn＋1bn＝q1·q2故命题成立．[点评]若{an}、{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{1an}，{a2n}，{an·bn}，{anbn}仍是等比数列．迁移变式1等比数列{an}的公比为q，求证：{m·an}是公比为q的等比数列(m≠0)．证明：设bn＝man∴bn＋1＝man＋1∴bn＋1bn＝m·an＋1man＝an＋1an＝q.∴{bn}即{m·an}是公比为q的等比数列．[例2]在等比数列{an}中，a2＝4，a5＝－，求数列的通项an.[分析]思路1：设首项为a1，公比为q，由题目中两等式列方程组，解出a1，q，进一步可求出an.思路2：利用am＝anqm－n，可求q，再进一步求an.[解]方法1：设首项为a1，公比为q，则a2＝a1q＝4，a5＝a1q4＝－12，解得a1＝－8，q＝－12.∴an＝a1qn－1＝(－8)×(－12)n－1＝(－12)－3·(－12)n－1＝(－12)n－4.方法2：a5＝a2q5－2，∴a5a2＝q3，∴q3＝－124＝－18，∴q＝－12.∴an＝a5qn－5＝(－12)×(－12)n－5＝(－12)n－4.[点评]方法1，设首项与公比，列方程解出，是通法；方法2是技巧，巧用公式，使计算简便．迁移变式2(1)在等比数列{an}中，a5＝4，a10＝27，则q＝________.(2)已知数列{an}为等比数列，a4＝25，a6＝27，则log2a6－log2a4＝__________.解析：(1)a10a5＝q5，∴q5＝2722＝25，∴q＝2.(2)由于log2a6－log2a4＝log2a6a4，而a6a4＝q2， q2＝2725＝22，∴log2a6－log2a4＝log2a6a4＝log2q2＝log222＝2.答案：(1)2(2)2[例3]已知等比数列{an}中，a3＋a5＋a7＝84，a3·a5·a7＝4096，求an.[分析]由3＋7＝2×5，从而a3·a7＝a25，先求出a5，再求q，进而求an.[解]设等比数列公比为q，由于a3，a5，a7成等比数列，∴a25＝a3·a7.由a3·a5·a7＝4096得：a35＝4096，∴a5＝16.由a3＋a5＋a7＝84得：16q2＋16＋16q2＝84，∴4q4－17q2＋4＝0，∴q2＝4或q2＝14.∴q＝±2或q＝±12. an＝a5·qn－5，∴an＝16×2n－5＝2n－1或an＝16×(－2)n－5＝(－2)n－1或an＝16×(12)n－5＝(12)n－9或an＝16×(－12)n－5＝(－12)n－9.[点评]本题得解的关键是利用性质am·an＝ap·aq(m、n、p、q∈N*，m＋n＝p＋q)，并用一变形公式an＝am·qn－m.迁移变式3在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·...
